5 MATRZZ

5.3 LA MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN LINEAL.

Si A es una matriz de m x n y está definida por Tx = Ax, entonces, T es una transformación lineal. Ahora se verá que para toda transformación lineal en existe una matriz A de m*n tal que Tx=Ax. Entonces un T= e Im T=. Más aun, v (T) = dim un T = v(A) y p (T) = dim Im T = p(A). Así se puede determinar el núcleo, la imagen, la nulidad y el rango deuna transformación lineal de determinando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Adicionalmente, una vez que se sabe que Tx = Ax. Se puede evaluar Tx para cualquier x en  mediante una simple multiplicación de matrices.
Pero esto no es todo. Como se verá, cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una matriz.Teorema 1
Sea T: una transformación lineal. Existe entonces una matriz única de m*n,  tal que Tx= para toda X Є
Demostración
Sea w1 = T, = T,…., = T. Sea  la matriz cuyas columnas son w1, w2,…., wn y hagamos que AT denote también a la transformación de , que multiplica un vector en  por . Si
Para i = 1,2,……., n.






Entonces

De esta forma, = para i = 1,2,….n., T y la transformación son las mismasporque coinciden en los vectores básicos.

Ahora  se puede demostrar que  es única. Suponga que Tx = y que Tx = para todo x . Entonces = , o estableciendo CT= AT – BT, se tiene que CTx = 0 para todo x ϵ Rn. En particular, i es la columna i de CT. Así, cada una de las n columnas de CT es el m-vector cero, la matriz cero de m*n. Esto muestra que AT = BT y el teorema queda demostrado.

Definición1    Matriz de transformación
La matriz  en el teorema 1 se denomina matriz de transformación correspondiente a T o representación matricial de T.

NOTA. La matriz de transformación  está definida usando las bases estándar tanto en  como en . Si se utilizan otras bases, se obtendrá  una matriz de transformación diferente.





TEOREMA 2  
Sea la matriz de transformación correspondiente a latransformación lineal T. entonces.

 Im T = Im A =
P (T) = p ()
Un T =
 V (T) = v (

Ejemplo 1   
Representación matricial de una transformación de proyección
Encuentre la matriz de transformación  correspondiente a la proyección de un vector en  sobre el plano xy.

Solución




Aquí T =.en particular. T

.Observe que

Teorema 4
Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita con dim V = n.sea T: V-W una transformación lineal y sea  una representación matricial de T respecto a las bases  en V y   en W. entonces
I.P (T) =p ( II.V (A) = v ()           III.V (a) + p (T) = n

Teorema 5 Sea T: una transformación lineal. Suponga que C es la matriz de transformación de T respecto a las bases estándar  y  en  y , respectivamente. Sea  la matriz de transición  de  a base en . Si  denota la matriz de transformación de T respecto a las bases  y , entonces.



Geometría de las transformaciones lineales de  en .
Sea T:- una transformación lineal con representación matricial  Ahora de demostrará que si es invertible, entonces T se puede escribir como una sucesión de una o más transformaciones especiales, denominadas expansiones, compresiones, reflexiones y cortes.Expansiones a lo largo de los ejes x o y
Una expansión a lo largo del eje x es una transformación lineal que multiplica a la coordenada x de un vector en  por una constante C >1. Esto es


Entonces de manera que si , se tiene


De manera similar, una expansión a lo largo del eje y es una transformación lineal que multiplica la coordenada y de todo vector en  por una constante C > 1. Como antes,
SiT,
Entonces la representación matricial de T es   de manera que
A) B)





C)



a)      se comienza con este rectángulo.
b)      Expansión en la dirección de x c = 2.
c)       Expansión en la dirección de y con c = 4.

Compresión a lo largo de los ejes x o y.
Una compresión a lo largo de los ejes x o y es una transformación lineal que multiplica ala coordenada x o y de un vector en  por...