5_Observabilidad_y_controlabilidad

Sistemas dinamicos
Observabilidad y controlabilidad

1

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Contenido
1.

Respuesta de entrada-salida versus conducta del
estado

2.

Mal comportamiento por perdida de la
observabilidad

3.

Mal comportamiento por perdida de la
controlabilidad

4.

Dualidad entre observabilidad y controlabilidad

2

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RESPUESTA DE ENTRADA-SALIDA
VERSUS CONDUCTA DEL ESTADO
3

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Sistemas de control enlazo cerrado

entrada u(t)
Nivel de liquido
deseado

Propósito del control:
Diseñar las entradas u(t) de modo que la salida y(t)
se comporte de la manera deseada?
4

/58

Sistemas de control en lazo cerrado
entrada u(t)

Nivel deseado



¿Qué problemas que podrían surgir si restringimos
nuestra atención en diseñar entradas u(t) de modo que
la salida y(t) se comporte de una manera deseada?

5

/58El comportamiento del estado

u(t)

S

y
x

desde el controlador

¿Cómo se comportan los estados cuando uno se
concentra unicamente en el comportamiento de
entrada/salida del sistema?
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/58

El comportamiento del estado


Este problema será estudiado en las siguientes
dos secciones.
A partir de dos ejemplos:
» Mal comportamiento por perdida de
la observabilidad
» Mal comportamiento por perdidade
la controlabilidad
Los ejemplos estudiados consideran solamente sistemas
SISO, y suponiendo que la matriz D 1 × 1 es cero.
7

/58

Mal comportamiento por perdida de la
observabilidad
8

/58

Perdida de la observabilidad


A fin de introducir el concepto de
observabilidad, consideremos el siguiente
sistema SISO, con D = 0, t0 = 0,

» Cuya matriz de transicion es

9

/58

Perdida de laobservabilidad


Por lo tanto, con condicion inicial x(0) = 0, y
entrada,

Salida y(t) tiende
a uno

10

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Perdida de la observabilidad


Con condicion inicial x(0) = 0, y entrada,

y(t) tiende a uno

Trayectoria del estado

x1 tiende a infinito!
¿Dónde esta el problema?

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Perdida de la observabilidad
¡En la selección de la matriz C!
Dos cosas a tener presente. En general:
1. Lastrayectorias de los estados estan
intimamente acopladas (en concordancia
con la matriz A)
2. La salida es una combinacion lineal de los
estados (en concordancia con la matriz C)

¿Una eleccion cuidadosa del par A, C,
permitiria que, dada la salida, se pueda inferir
informacion de todos los estados?
12

/58

La idea de la observabilidad
Con el fin de ilustrar la idea de la observabilidad,
consideremosahora, la siguiente descripcion de entradasalida de un sistema escalar con condiciones iniciales
distintas de cero
y ( n )  a1 y ( n  1)  ...  a n  1 y  a n y bn 1u  bn u  ...  b2 u ( n  1)  b1u ( n )

Dados:
y  0  , y& 0  ,..., y ( n 1)  0 

u  0  , u& 0  ,..., u ( n 1)  0 

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La idea de la observabilidad
Dada la descripcion de entrada-salida de un sistemaescalar
con condiciones iniciales distintas de cero.
Con modelos de estado

x&(t )  Ax(t )  Bu (t )
y (t )  Cx(t )

La salida esta dada por

¿Cómo construir los modelos de estado de forma que sus
salidas sean las mismas del modelo escalar original?
14

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La idea de la observabilidad
Para responder a esta pregunta, el problema se plantea en
estos terminos: Dados,
y  0  , y& 0  ,..., y ( n 1) 0 

u  0  , u& 0  ,..., u ( n 1)  0 

Objetivo: Determinar el vector de estado inicial x(0)
x  0    x1  0  ,..., xn  0 

T

y (0) Cx (0)
y (0) Cx (0) CAx(0)  CBu (0)
y (0) Cx(0) CAx (0)  CBu (0) CA 2 x(0)  CABu (0)  CBu (0)

y ( n  1) (0) CA n  1 x(0)  CA n  2 Bu (0)  CA n  3 Bu (0)    CABu ( n  3) (0)  CBu ( n  2) (0)
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La idea de laobservabilidad
En forma matricial




y  0  




y (0) 
y&(0) 
&
y&(0) 

M 
y ( n  1) (0)



C
0
0




CA
CB
0



 CA 2 x(0)
  CAB

CB



M
M
M



 CA n  1

CAn 2 B CAn  3 B

y  0   Ox  0   Tu  0 

L
L
O
O
L

L 
L  
O 

O 
CB 

0  u (0)
0  u&(0)
&(0)
M  u&

M  M
0 u ( n  1) (0)

x  0   O 1  y  0   Tu  0 ...