5 tema5

Contrastes para los par´ametros de una poblaci´on Normal.
Varianzas desconocidas
Ejercicios Tema 5 (Resuelto)

1.

Problema 5

El tama˜
no medio de la gorgonia blanca (Eunicella verrucosa) es de 11.3cm. Se realiza un muestreo
midiendo 6 individuos en una zona muy frecuentada por buceadores obteniendo los siguientes valores: 8,
11, 9, 7, 10, 9.
Suponiendo que la variable sigue una distribuci´onNormal, ¿se ajustan los individuos muestreados
a la media poblacional?

1.1.
1.1.1.

Resoluci´
on
Planteamiento del contraste

Tal y como se pregunta en el ejercicio, se debe comprobar si la muestraobtenida de gorgonia
blanca se comporta conforme al tama˜
no medio de la poblaci´on (µ) para dicha especie. Para ello, y puesto
que se conoce la media poblacional µ, se puede comprobar mediante uncontraste para los par´
ametros
de una poblaci´
on. Por otro lado, debido a la naturaleza de la variable (datos cuantitativos continuos), se
puede desarrollar el contraste para una poblaci´
on Normal, eneste caso para la varianza de la poblaci´
on
σ desconocida al no disponer de su valor.
1.1.2.

Planteamiento de la hip´
otesis

Sea X la variable aleatoria tama˜
no de los individuos de gorgoniaobservado, y sabiendo seg´
un el
enunciado del ejercicio que se quiere conocer si dichos individuos se ajustan a la media de la poblaci´on, se
debe aplicar un contraste bilateral con objeto de contrastar siµ es igual o no a la media de la poblaci´on
de 11.3 cm (µ0 ). Por tanto las hip´
otesis quedan definidas como:
H0 : La variable observada se ajusta a la media poblacional
H1 : La variable observadano se ajusta a la media poblacional
H0 : µ = µ 0
H1 : µ = µ 0
1.1.3.

→ H0 : µ = 11.3
→ H1 : µ = 11.3

→β
→ α = 0.05

→β
→ α = 0.05

Estad´ıstico de contraste

Dado que la varianza de la poblaci´
on σes desconocida, se aplica como estad´ıstico la t de Student,
que deber´a ser comparado con su correspondiente punto cr´ıtico:
texpt =

x
¯−µ√
0
Sn−1 / n

Pc = tteo = tn−1,α
1.1.4.

Desarrollo del...