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MATEMÁTICA
APLICADA A LOS
NEGOCIOS
Unidad 3: La derivada
5.2 Sesión Online

Aplicaciones a la economía.

Logro de la sesión
• Al finalizar la sesión presencial 2, el alumno
resuelve situaciones asociadas a razones de
cambio, análisis marginal y máximos y
mínimos, dentro del contexto de la Economía.

Razón de cambio instantánea

Ejemplo 1
Un comerciante determinó que el ingreso, en miles desoles, por
2
la venta de un producto es I ( q ) 10 000q  100q donde q es
la cantidad producida y vendida en cientos de unidades.
a. ¿Cuál es la razón de cambio promedio del ingreso si la
cantidad cambia de q =5 a q =10 (cientos de unidades)?
b. Determine la razón de cambio instantánea del ingreso respecto
a la cantidad vendida para q =5 cientos de unidades.
c. Interprete los resultados obtenidos enlos ítems a y b.

a. Primero calculamos el ingreso para q = 5 cientos y para q = 10 cientos

I (5) 10 000(5)  100(5) 2 47500 miles de soles
I (10) 10 000(10)  100(10) 2 90000 miles de soles
Entonces la razón de cambio promedio cuando la cantidad cambia de 5
cientos a 10 cientos será:
I (10)  I (5) 90000  47500
miles de soles
soles

8500
85000
10  5
10  5
ciento
unidad

b. Parahallar la razón de cambio instantánea en q = 5 cientos,
calculamos la derivada de la función ingreso en q = 5; o sea,
I (q ) 10 000  200q  I (5) 9000

miles de soles
soles
90000
ciento
unidad

c. Interpretación de la razón de cambio promedio: “Cuando la cantidad
cambia de 500 a 1000 unidades, el ingreso aumenta, en promedio, a
razón de 85000 soles por unidad”.
Interpretación de la razón decambio instantánea: “Cuando la
cantidad vendida es de 500 unidades, el ingreso aumenta a razón de 90
000 soles por unidad”.

Ejemplo 2
La función de ingreso por la venta de x juguetes es I ( x) 2 x
y la función de costo total es C ( x) 100  0,2 x 2  x , donde I y C
están en dólares.
a. ¿Cuál es la razón de cambio instantánea de la utilidad, cuando se
producen y venden 10 unidades?
b. Interprete elresultado.

a. Primero, obtenemos la función utilidad:





U ( x) I ( x)  C ( x) 2 x  100  0,2 x 2  x  x  100  0,2 x 2

Luego, derivamos la función utilidad y la evaluamos en x = 10:
U ( x) 1  0,4 x  U (10)  3

dólares
unidad

b. Interpretación:
“Si se producen y venden 10 juguetes, la utilidad disminuye a una razón
de 3 dólares por unidad”.

Ejemplo 3
Los sociólogos hanestudiado la relación entre el ingreso y el
número de años de educación en miembros de un grupo urbano
particular. De acuerdo con sus hallazgos, una persona con x años de
educación, cuando busca empleo por primera vez puede esperar
recibir un ingreso anual medio de I dólares, donde:
5
2

I ( x) 5 x  5900 ; 4  x 16

Halle la razón de cambio instantánea del ingreso con respecto al
número de años deeducación. Evalúela cuando x = 9 e interprete
el resultado.

a. Primero, derivamos la función ingreso dada:
3

25
I ( x)  x 2
2

Evaluamos la derivada de la función ingreso en x = 9
3

25
dólares
I (9)  (9) 2 337,5
2
año

Interpretación:
“El ingreso de una persona, cuando tiene 9 años de educación,
aumenta a razón de 337,5 dólares por año adicional de
educación”

Ejercicio 1
Un comerciantedeterminó que el costo, en miles de soles, por la
producción de un producto es C ( x) 20  5 x  0,02 x 2
donde x es la cantidad producida en cientos de unidades.
a. ¿Cuál es la razón de cambio promedio del costo cuando la
cantidad cambia de x=10 a x=20 (cientos de unidades)?
b. Determine la razón de cambio instantánea del ingreso respecto
a la cantidad vendida para x=10 cientos de unidades.
c.Interprete los resultados obtenidos en los ítems a y b.
Rpta. a. 56 dólares/ unidad b. 54 dólares/unidad
c. Cuando la cantidad cambia de 1000 a 2000 unidades, el costo aumenta, en
promedio, a razón de 56 dólares por unidad.
Cuando la cantidad producida es de 1000 unidades, el costo aumenta a razón de
54 dólares por unidad.

Ejercicio 2
Una empresa se dedica a la venta de casacas de cuero....