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TRILCE

Capítulo

5

FACTORIZACIÓN

Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o
más polinomios llamados factores, de tal modo que, al
multiplicarlos, se obtenga el polinomio original.
Ejemplo :

Ejemplo :
1. Factorizar : xy + xz + xw.
Solución :

ya factorizado

x2  y 2  (x  y)(x  y)

se extrae "x"

xy+xz+xw
"x" factor común

Antes de factorizar

x(y+z+w)
polinomio
factorizadofactores

2. Factorizar : xy 4  y 7z  y 3w
Puede notarse que si multiplicamos (x+y)(x-y) se
obtiene x 2  y 2 que viene a ser el polinomio original (la
factorización y la multiplicación son procesos inversos).
Factor Primo
Es aquel polinomio que no se puede descomponer
en otros polinomios.
Ejemplo :

x2  y 2  no es primo (se puede descomponer).
x2  y 2  es primo (no se puede descomponer).Propiedades :
1.

2.

3.

El número máximo de factores primos que tiene un
polinomio está dado por su grado. Así por ejemplo :

Solución :

xy4  y7 z  y 3 w
y

menor exponente

3

factor común

se extrae "y3"

tendremos :

y 3 (xy  y 4 z  w)
polinomio factorizado

3. Factorizar : a2  ab  ac  bc
Sol. agrupando :

x3  6x2  12x  6 a los más tiene 3 factores primos.

a 2  ab  ac  bc

Lospolinomios lineales (primer grado) necesariamente
son primos.

a (a+b)+c(b+a)
factor común : a + b

Sólo se pueden factorizar los polinomios no primos.
se extrae (a+b)

MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
I.

Método del Factor Común
Se aplica cuando en todos los términos del polinomio
se repite el mismo factor, el que se denomina factor
común. Para factorizar, se extrae a cada término del
polimonio el factor común,(si éste tuviese diferentes
exponentes, se elige el de menor exponente).

tendremos :
(a+b)(a+c)
polinomio factorizado

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Álgebra
II.

Método de las Identidades
En este caso, se utilizan las identidades algebraicas (Productos Notales); pero en forma inversa, es decir teniendo el
producto se calculan los factores que le dieron origen.
Se puede utilizar cualquier Producto Notable estudiado; perolos que se utilizan con más frecuencia los recordamos en
el siguiente cuadro :

Producto Notable

Diferencia de Cuadrados :

Polinomio Factorizado

a 2  b2

(a+b)(a-b)

Trinomio Cuadrado Perfecto : a 2  2ab  b 2
(TCP)

(a  b)2

Suma o Diferencia de Cubos : a 3  b3

(a  b)(a 2  ab  b 2 )

Ejemplo :

Solución :
4

1. Factorizar : x  y

2

x 2  10x  9  (x  9)(x  1)

Solución :

(x 2 )2 y 2  (x 2  y)(x 2  y)

x

9

x

1

9x
x
10x

polinomio factorizado

2.

Factorizar : x2  10x  25

Ax 2  Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F

Solución :

se obtienen dos factores trinomios.

x 2  2 (x)(5)  5 2  (x  5)2

Regla :

polinomio
factorizado

3

3. Factorizar : a  27

Ax 2 ; Cy 2 ; F
Bxy, Dx, Ey.

a 3  3 3  (a  3)(a 2  3a  9)
polinomio factorizado

a) Aspa Simple :
Se aplica atrinomios, obteniéndose 2 factores
binomios.
Regla : se descomponen dos de los términos, en
dos factores, luego se calcula la suma del producto
en aspa, tal que sea igual al término no descompuesto del trinomio.
Factorizar :

Ej. Factorizar :

10x2  xy  3y2  16x  14y  8
Solución :

Método de las Aspas

Ej.

* Se descomponen en dos factores :
* Mediante tres aspas, se comprueban:

Solución :

III.b) Aspa Doble :
Se aplica a polinomios de la forma :

x2  10x  9

10x 2  xy  3 y 2  16x  14 y  8
5x

3y
1

2x

2
3

-y

2

-4

Comprobaciones :
Aspa 1

-5xy + 6xy = xy

Aspa 2

-12y - 2y = -14y

Aspa 3

4x - 20x = -16x

luego, tendremos : (5x+3y+2)(2x-y-4)

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c)

Aspa Doble Especial
Generalmente, se aplica a polinomios de cuarto grado

Caso B : coeficiente principal  1
 posibles ceros:

de la forma :

divisores T. independiente
divisores coeficient e principal

Ax 4  Bx 3  Cx 2  Dx  E
Se obtienen dos factores trinomios de segundo grado.

Regla para factorizar :

Regla :
*

Se descomponen : Ax4 y E, luego se calcula la

a)

suma del producto en aspa.
*

La suma obtenida se resta de Cx 2 .

*

La diferencia que resulta se descompone en dos

Se calcula los posibles ceros y...