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EL TEOREMA DEL CAMBIO DE BASE DE LOGARITMOS: UNA
NOTA DE CLASE
Juan Gabriel Molina Zavaleta, Apolo Castañeda Alonso, Alejandro Rosas Mendoza
jmolinaz@ipn.mx, alerosas@ipn.mx, apcastane@gmail.com
Instituto Politécnico Nacional (México)
RESUMEN
En este documento se esboza una clase de matemáticas para estudiar el Teorema del Cambio de
Base de los Logaritmos; en el desarrollo del tema, losargumentos se apoyan en representaciones
gráficas de funciones exponenciales concretas, para construir el teorema citado. La clase está
pensada para estudiantes de nivel medio superior.
Palabra clave: logaritmos, cambio de base, nota de clase

INTRODUCCIÓN
En el trabajo de Castañeda, Rosas y Molina (2010), discutimos una caracterización del manejo
escolar del logaritmo en ciertos libros de texto, a travésde analizar el discurso matemático
escolar; uno de los aspectos en que centramos la investigación citada es relativo al tipo de
recursos didácticos empleados por los autores de los libros citados, particularmente observamos el
uso que hacen de las gráficas y el sentido que éstos les asignan:
En la obra de Bromwich observamos dos gráficas que ilustran la representación
de una ecuacióntrigonométrica en un diagrama de Argand, no se desprende
ninguna discusión a partir del gráfico. En la obra de Thomas pudimos observar
dos clases de usos a sus gráficas, la primera para ilustrar el área bajo la curva (lo
que le permite después argumentar su definición), la segunda con una función
más amplia, pues la gráfica apoya al análisis de las propiedades de la curva.
Finalmente en el libro de Sullivanobservamos que las gráficas tienen mayor
participación en el estudio del logaritmo; por una parte abre una discusión sobre
operaciones a las funciones y sus efectos gráficos y por otra parte hay un análisis
de la naturaleza de la curva, su crecimiento, etc. Sin embargo, coincidimos con
Montiel (2005), el gráfico se vuelve necesario en el discurso... para salvar la
distancia entre el rigor y laintuición, pues notamos que la obra de Sullivan tiene
un predominante enfoque algorítmico. (Castañeda, Rosas y Molina, 2010, p. 17).

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Este análisis nos ha permitido proponer un enfoque didáctico innovador, porque aunque partimos
de un rasgo que identificamos en los autores de los libros estudiados: la relación inversa que
establecen entre logaritmos y exponentes, el enfoque que asignamos a ladiscusión en la clase, es
diferente. En esta aproximación, la representación gráfica justifica los planteamientos algebraicos
usados, utilizando argumentos sutiles.
La idea de esta nota de clase nace de leer el trabajo de Lestón (2005), en el que a través de
argumentar una propuesta didáctica, relacionada con funciones exponenciales y logarítmicas,
analiza las ventajas y dificultades de introducir lacomputadora en la clase de matemáticas. Esta
nota de clase que proponemos, es pertinente en el contexto sugerido por Lestón, el uso de un
software graficador para el estudio del tema; además consideramos que para varios profesores
podría resultar de interés.

NOTA DE CLASE
Objetivo: Utilizar argumentos basados en gráficas, para construir el Teorema de Cambio del Base
de Logaritmos.
DesarrolloConsideremos la función y1 = 5 y grafiquémosla:

Fig. 1. Gráfica de la función y1 = 5

Si dibujamos en el mismo plano a las funciones y1 y y2 = 3x se obtiene:

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Fig. 2. Gráfica de las funciones y1 = 5 e y2 = 3x

Al observar las gráficas de las funciones mostradas en la figura 2, se puede afirmar que para algún
número real m:
y2 (m) = y1 (m)
3x = 5
(Ec.1)
La ecuación 1 se resuelve aplicando lafunción inversa de y2 , log3 x, en ambos lados de la
igualdad, por tanto la solución de Ec.1 es:
m = log3 5
A continuación, involucramos un nueva función, y3 = 2x y la graficamos junto con las funciones
y1 y y2.

Fig. 3. Gráfica de las funciones y1 = 5 , y2 = 3x y y3 = 2x

Entre las graficas de las funciones y1 y y3, acontece una situación semejante a la que se dio entre
las funciones y1 y y2:
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