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ESPACIOS VECTORIALES



Introducción.

La idea de vector está tomada de la Física, donde sirven para representar magnitudes vectoriales como fuerzas, velocidades o aceleraciones. Para ello se emplean vectores de dos componentes en el plano, de tres componentes en el espacio...
Se supone conocida la representación gráfica y manejo de los vectores de ℜ 2 y de ℜ 3.

En Matemáticas, tratamos deabstraer las propiedades que caracterizan a los vectores para extenderlas también a otro tipo de objetos diferentes de los vectores de la Física.

Esencialmente, el comportamiento que caracteriza a los vectores es el siguiente:

• Podemos sumar dos vectores y obtenemos otro vector;

• Podemos multiplicar un vector por un número (escalar) y obtenemos otro vector.

Además estas operaciones cumplenciertas propiedades, que observamos en los vectores de ℜ 2 y de ℜ 3 :

En lo sucesivo, utilizaremos habitualmente la siguiente notación: u,v,w (u otras letras latinas) para vectores, mientras que las letras griegas designarán escalares.


Propiedades de la suma de vectores.

• Asociativa: (u+v)+w = u+(v+w)

• Conmutativa: v+u=u+v.
• Existe un elemento neutro, el vector

K
0 , tal que

K
0 +v = v para cualquier vector v.
K
• Para cada vector v existe un elemento opuesto, –v, que sumado con él da 0 .

Propiedades del producto de un vector por un escalar.

• Asociativa:

 ( v) = (   ) v

• Distributivas:

ƒ Respecto de la suma de escalares: ( +  ) v =  v +  v
ƒ Respecto de la suma de vectores:  (u + v) =  u + v

• Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que1· v = v para cualquier vector v.

Definición: espacio vectorial.

Cualquier conjunto que posea unas operaciones suma y producto por escalares, cumpliendo todas las propiedades anteriores, diremos que es un espacio vectorial. Los elementos de tal conjunto se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de objetos diferentes a los vectores de la Física.)

Diremos que el espacio vectorial es real ocomplejo, según sean los escalares.

• Otras propiedades de los espacios vectoriales pueden deducirse de las
anterioKres propiedades básicas. Por ejemplo: K
Si α v = 0 (α
escalar, v vector) entonces o bien es α =0 o bien es v = 0 .
Ejemplos de espacios vectoriales.

1) El espacio ℜn
, formado por los vectores de n componentes (x1, . . .,xn) es un espaciovectorial real, en el que se pueden sumar vectores y multiplicar por un escalar (real) de la forma habitual.

Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas para ambas operaciones. El vector cero es (0,. . .,0).

No es un espacio vectorial complejo, pues no podemos multiplicar por escalares complejos
(si lo hacemos, el resultado no se mantendrá dentro de ℜn ).



2) Consideremos elconjunto P2 de los polinomios de grado ≤ 2 con coeficientes reales:

P2 ={ ax2 + bx + c : a, b, c ∈ ℜ }
Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos elementos de P2 y obtenemos otro elemento de P2 ; también podemos multiplicar un elemento de P2 por un escalar real y obtenemos otro elemento de P2. Veámoslo:
• Suma: ( ax2 + bx + c ) + ( a’x2 + b’x + c’ ) = (a+a’) x2 + (b+b’) x + (c+c’)que pertenece a P2.
• Producto por un escalar real ∈ ℜ , (ax + bx + c) = ax2 + bx + c que pertenece a P2.

K
Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas. El vector cero: 0x2 + 0x + 0
0 es el polinomio

No es un espacio vectorial complejo, pues al multiplicar por un escalar complejo el resultado podrá ser un polinomio complejo que no pertenece a P2.




3) Consideremosel conjunto G de los polinomios de grado = 3 (exactamente 3) con coeficientes reales.

No es un espacio vectorial (real ni complejo), pues al sumar dos elementos de G, no está garantizado que el resultado esté en G. En efecto, consideremos los polinomios

p = x3+x2+x+1 , q = –x3+x2+x+1

Pertenecen a G, pues su grado es 3. Pero su suma es p+q = 2x2+2x+2 que no pertenece a
G (su...