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Cap´ıtulo 1


Matrices y sus operaciones




1.1. Definiciones

Dados dos enteros m, n ≥ 1 y un cuerpo conmutativo IK , llamamos matriz de m
filas y n columnas con coeficientes en IK a un conjunto ordenado de n vectores

C1 = (a11 , a21 , . . . , am1 ), C2 = (a12 , a22 , . . . , am2 ), . . . ,

Cn = (a1n , a2n , . . . , amn ),
del espacio IK m .

Las matricesse escriben en forma de cuadro rectangular, encerrado entre par´ente- sis, colocando las componentes de los vectores C1 , C2 , . . . , Cn en vertical, unas a continuacion de las del otro:
 a11 a12 . . . a1n 
 a21 a22 . . . a2n 
 . . . 
 . . . 
am1 am2 . . . amn

Los vectoresdato se denominan columnas de la matriz. La propia manera de presentar una matriz sugiere la consideraci´on de m vectores

F1 = (a11 , a12 , . . . , a1n ), F2 = (a21 , a22 , . . . , a2n ), . . . ,

Fm = (am1 , am2 , . . . , amn ),
del espacio IK n , los cuales reciben el nombre de filas de la matriz. Con ellos como dato se podr´ıa haber dado una definicion alternativa de matriz:ser´ıa un conjunto ordenado de m vectores del espacio IK n .

Cada una de las componentes de cada uno de los vectores datos se conoce como un coeficiente de la matriz. Su doble ´ındice indica que aij es el coeficiente situado en la fila i-´esima y en la columna j-´esima. En total hay mn coeficientes.


Con frecuencia usaremos la escritura abreviada

(aij ),

sobreentendiendo que i ∈ [1, m] yj ∈ [1, n]. Incluso, se aluda o no a los coeficientes, la matriz se escribe con una sola letra mayu´scula, tal como A, B, M , N , etc. En estos
casos, Fi (A) indicar
la fila i-´esima en la matriz A y Cj (A) la columna j-´esima; a
veces pondremos eij (A) para indicar el coeficiente ubicado en el cruce de Fi (A) con
Cj (A).
El conjunto de todas las matrices de m filas, n columnas ycoeficientes en IK se denota por el s´ımbolo
M(m, n, IK ).


1.2. Igualdad de matrices

Por haber definido la matriz como un conjunto ordenado de n vectores, es claro que dadas dos matrices


se cumple
A, B ∈ M(m, n, IK )


A = B ⇒ Cj (A) = Cj (B), ∀j ∈ [1, n].
Si A = (aij ), B = (bij ), como cada columna es, a su vez, una m-upla ordenada de elementos de IK , cada una de lasigualdades vectoriales de antes equivale a m igualdades escalares referidas a sus componentes. Es decir, la igualdad matricial equivale a mn igualdades escalares:

A = B ⇒ aij = bij , ∀i ∈ [1, m], ∀j ∈ [1, n].

Estas igualdades conducen a otra equivalencia, ahora por filas:


A = B ⇒ Fi (A) = Fi (B), ∀i ∈ [1, m].


1.3. Tipos particulares de matrices

Hay algunasmatrices que reciben nombres propios. Entre ellas vamos a destacar las siguientes:

a) Matrices columna: Corresponden al caso en que m es arbitrario pero n = 1.
Sus coeficientes se escriben con un solo ´ındice,
 a1 
a2 
A =  .  ,
 . 
am

y cada una de sus filas es un escalar.


b) Matrices fila: Ahora es m = 1 y n cualquiera. Tambi´en se escriben con un solo ´ındice,
A = ( a1a2 . . . an ) ,
siendo escalares cada una de sus columnas.

c) Matrices cuadradas: Se llaman as´ı aquellas en que m = n:
 a11 a12 . . . a1n 
a21 a22 . . . a2n 
A =  . .
 . .
.  .
. 
an1 an2 . . . ann
Tanto sus filas como sus columnas ser´an vectores de un mismo espacio IK n . El conjunto de todas ellas se escribecomo
M(n, IK ).

d) Matrices triangulares: Una matriz cuadrada recibe el nombre de supra- triangular cuando
 a11 a12 . . . a1n 
0 a22 . . . a2n 
A =  . .
 . .
.  ⇒ aij
. 
= 0, ∀i > j.


En cambio, se llamar
0 0 . . . ann
infratriangular si
 a11 0 . . . 0 
a21 a22 . . . 0 
A = ...