55 Nuevo Metodo

Nuevo método de aproximaciones
sucesivas para obtención de
raíces de polinomios
Roberto Elizondo VillarrealA, Virgilio A. GonzálezA,B,
Ramón Cantú CuéllarA
A
B

FIME-UANL
CIIDIT-UANL
roelizon@hotmail.com, virgonzal@gmail.com, ramon_cantu@yahoo.fr

RESUMEN
En este artículo reportamos un nuevo método de aproximaciones sucesivas
aplicándolo a la determinación de raíces de polinomios de gradoarbitrario.
El método está fundamentado en que para determinar cualquier raíz, el valor
absoluto de la suma de los miembros positivos y negativos de una función deben
ser iguales. Este método tiene como ventajas respecto a los métodos conocidos que
a) tiene un solo valor inicial supuesto (x0), b) éste no tiene que ser cercano al valor
de la raíz y c) no se ve afectado por los cambios de pendiente.Adicionalmente
puede ser de convergencia rápida.
PALABRAS CLAVE
Aproximaciones sucesivas, polinomios, raíces.
ABSTRACT
We are reporting in this article a new successive approximations method for
determining the roots of polynomial functions of arbitrary order. The method
is based on that for determining any root, the absolute values of the sumatory
of the positive and negative terms of any function mustbe equal. The method
advantages in reference to the well-known methods is that: a) it is necessary
only one initial supposed value (x0), b) it is not necessary that this value is close
to the root, and c) the convergence is not affected by slope changes. In addition
it can be of rapid convergence.
KEYWORDS
Successive approximations, polynomius, roots.
INTRODUCCION
En la actualidad, los métodosnuméricos son una herramienta indispensable en
prácticamente todos los campos de las ciencias exactas e ingenierías.1-4 Aquellos
métodos utilizados para encontrar las raíces de un polinomio de grado n tienen
además aplicaciones que van desde encontrar los puntos de intersección de
funciones complejas, hasta la resolución de ecuaciones diferenciales.
Entre los métodos de aproximaciones sucesivas másutilizados para la
solución de problemas científicos e ingenieriles se pueden enumerar: 1. Método
de bisecciones sucesivas, 2. Punto fijo (iteración simple), 3. Método Newton-

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Ingenierías, Abril-Junio 2012, Vol. XV, No. 55

Nuevo método de aproximaciones sucesivas para obtención de raíces de polinomios / Roberto Elizondo Villarreal, et al.

Raphson, 4. Método de la secante, 5. Método deHorner (división sintética), 6. Método Birge-Vieta
y 7. Método de Lin-Bairstow. Sobre el desarrollo
de estos métodos, basta decir que el más conocido
y utilizado es el método de Newton- Raphson, que
data de finales del siglo XV e inicio del XVI.5
Todos estos métodos tienen ventajas y desventajas,
dependiendo de las características de la función a la
que se le quiere determinar las raíces, por ejemplolos
métodos de Newton-Raphson y el de la secante fallan
ante cambios abruptos o de signo de la pendiente de
las funciones, los métodos de bisecciones sucesivas
y de iteración simple requieren iniciar los métodos
con dos valores de la variable independiente de los
que se sepa que representan un intervalo que incluye
la raíz buscada.
En este artículo, presentamos un nuevo método
de aproximacionessucesivas robusto en el sentido de
que no es afectado por cambios abruptos de pendiente
ni es necesario que el único valor inicial supuesto de
la raíz (x0) sea cercano a la raíz verdadera (r).
Además, como se muestra en la figura del
encabezado de este artículo, el método puede
aplicarse, entre otras cosas, para la determinación de
la intersección entre dos funciones polinomiales, esta
aplicaciónserá sujeto de un artículo futuro.
DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO
La fundamentación del método considera que si
tenemos la función:
(1)
f ( x ) = an x n + an−1 x n−1 + an−2 x n−2 + ...a0 x 0
es decir:
n

f (x ) = ∑ ai x i
0

la cual es continua para toda x∈R, entonces para que
se cumpla f(x)=0, la suma de todos los términos con
signo positivo debe ser igual al valor absoluto de la
suma de todos los...