5504

SMM

´ nea Matema
´ tica 55 (2012) 45–63
Miscela

Modelos de duopolio de Cournot con
evasi´on de impuestos
Benjam´ın A. Itz´a Ortiz*
Centro de Investigaci´on en Matem´aticas
Universidad Aut´onoma del Estado de Hidalgo
Pachuca de Soto, Hidalgo, 42090
M´exico
itza@uaeh.edu.mx

Yaneli Mera Lorenzo
ilenay05@hotmail.com

Resumen
En el presente art´ıculo analizamos modelos est´atico y din´amico
delduopolio de Cournot con evasi´on de impuestos y se discuten
las interpretaciones econ´omicas de los resultados. En el caso
del modelo din´
amico, se introduce un tiempo de retardo y se
presentan f´
ormulas para calcular el polinomio caracter´ıstico de
su linealizaci´
on.

Introducci´
on
En nuestro pa´ıs los ingresos que obtiene el gobierno federal han sido
hist´oricamente insuficientes para cubrirsus gastos y fomentar el desarrollo econ´omico, lo cual resulta notorio ante las condiciones de pobreza
de un alto porcentaje de la poblaci´on [2]. No hay duda de que la evasi´on fiscal es un problema may´
usculo en las econom´ıas de las naciones,
por lo que en nuestro pa´ıs, el Servicio de Administraci´on Tributaria
(SAT) anualmente da a conocer en detalle los niveles de evasi´on fiscal
*

Estetrabajo fue
Num. 103.5/07/2584

parcialmente

financiado

por

el

PROMEP

Oficio

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´ O. y Yaneli Mera L.
Benjam´ın A. Itza

en M´exico. Dichos estudios son elaborados por instituciones acad´emicas
de prestigio en el pa´ıs, de acuerdo con lo establecido en el Art. 29 de la
Ley del SAT [3].
En el ´ambito acad´emico existe una extensa literatura que aborda el
tema de la evasi´on fiscal y proponesoluciones, ver por ejemplo [5, 7, 9,
10, 12]. En este art´ıculo analizaremos modelos de duopolio de Cournot
en los que se considera el pago de impuestos y la evasi´on de los mismos
por parte de las dos empresas que conforman un duopolio del mercado.
Dividimos este art´ıculo en dos secciones. En la primera introducimos
terminolog´ıa y planteamos un modelo est´atico de duopolio de Cournot
conevasi´on de impuestos. Tambi´en daremos una interpretaci´on a nuestros resultados. En la segunda secci´on introducimos la versi´on din´amica
con tiempo de retardo y proponemos f´ormulas para el c´alculo del polinomio caracter´ıstico de la linealizaci´on. Varios ejemplos de nuestros
resultados se discuten al final de esta secci´on.

1.

Un modelo est´
atico de duopolio de
Cournot con evasi´
on deimpuestos

El modelo de duopolio de Cournot es un ejemplo cl´asico en teor´ıa de
juegos [4, 8]. Un duopolio es un mercado donde dos empresas venden un
producto a un n´
umero grande de consumidores. El primer estudio de un
duopolio se debe a Antoine Augustin Cournot, quien en 1838 propuso
que las empresas ajustan sus niveles de producci´on de tal forma que
cada una de ellas maximiza sus beneficios tomandola producci´on de
la empresa rival dada. A una pareja (x1 , x2 ) de niveles de producci´on
que satisface estas condiciones se le llama un equilibrio de Cournot. En
este caso, la primer empresa maximiza sus beneficios produciendo x1
unidades al considerar que la segunda empresa produce x2 unidades. De
igual forma, la segunda empresa maximiza sus beneficios produciendo
x2 unidades al considerar quela primer empresa produce x1 unidades.
Comenzamos por denotar por xi ≥ 0 al nivel de producci´on de la
firma i, i = 1, 2. La funci´on de demanda inversa, denotada por p, determina el precio del producto en el mercado dependiendo de la cantidad
del producto que se introduce al mercado. La funci´on p se asume dos
veces diferenciable y estrictamente decreciente, y como adem´as satisface la ley de laoferta y la demanda, existen n´
umeros no negativos a y
b, uno de ellos o ambos pueden ser infinito, tales que
l´ım p(x) = 0

x→a

y

l´ım p(x) = b.

x→0

Modelos de duopolio de Cournot . . .

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La cantidad a puede interpretarse como aquella cantidad de productos
en el mercado a partir de la cual el precio se desploma a cero, mientras
que la cantidad b puede interpretarse como el precio que...