55109841 APLICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA ECONOMIA

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA ECONOMIA

OFERTA Y DEMANDA:
- La demanda es el número de unidades que desean adquirir los consumidores en un determinado tiempo t, y como sabemos que el precio de un producto varia con el tiempo se puede expresar el precio como  pero la demanda no solo puede depender del precio en un instante de tiempo sino también de la dirección que creen losconsumidores que tomara este precio es decir la tasa de cambio de este precio o también llamado la derivada de este  , tomemos, en resumen la demanda  puede escribirse como:

- llamaremos a  la función demanda.
- en caso de la oferta pasa exactamente lo mismo es decir la demanda  depende también de  y puede depender también de  ; y puede escribirse como:

- llamaremos a  la funciónoferta.
- pero hay una forma de poder relacionar las ecuaciones de la oferta y de la demanda, para eso se definirá:
- PRINCIPIO ECONÓMICO DE LA OFERTA Y DEMANDA:
- es precio de un bien en cualquier instante de tiempo t está determinado por la condición de que la oferta en un instante de tiempo t sea igual a la demanda, usando lo anteriormente definido se tiene que:

- la ecuación es una ecuacióndiferencial de primer orden, ahora corresponde ver la forma que deben tomar ambas funciones, para este caso tomaremos las más sencillas que son:


- ahora conociendo ya las funciones  y  las reemplazamos y resolvemos la ecuación diferencial:


-Asumamos además que: , , en ese caso se puede escribir la ecuación diferencial como:

-Resolviendo:




- Cuando t=0, , aplicamos esacondición inicial en la ecuación diferencial:


- Ahora finalmente la ecuación diferencial queda de la forma:

- De esto se pueden sacar 3 posibles casos:
1.-Caso 1:
-  en este caso nos damos cuenta que al reemplazar en la ecuación diferencial nos da que  y por tanto  , esto se interpreta como que el precio es constante en cualquier instante de tiempo t.


2.-Caso 2:
-  en ese caso vemos quesi aplicamos un límite al precio , con un t que crece, tiende a . En este caso hay una estabilidad de precios, y el límite  se denomina precio de equilibrio.
3.-Caso 3:
-  en este caso vemos que el precio  crece conforme crece t y si asumimos que  tenemos una inflación continuada o inestabilidad de el precio, que puede continuar hasta que los factores económicos cambien, lo quepuede resultar en un cambio de .

Ejemplo aplicativo 1:
- la demanda y la oferta de un cierto bien están dadas en miles de unidades por  y , respectivamente. Si en t=0 el precio del bien es de 10 unidades, encuentre:
A.- el precio para cualquier tiempo t>0
B.- si hay estabilidad o inestabilidad de precio.
Solución:
PARTE A:
- Aplicando el principio económico de la oferta y demanda:


-Solucionando:


- Aplicando la condición inicial:


- finalmente la ecuación queda de la siguiente forma, que es el precio en cualquier tiempo t:

PARTE B:
- Recordando lo que se vio anteriormente, nos damos cuenta que si  entonces había una estabilidad en los precios, y como  entonces los precios si son estables, y cuando aplicamos el límite cuando t ese es el precio de equilibrio en esecaso el precio de equilibrio es 6.
- en la grafica se puede apreciar mejor este punto:



INVENTARIOS:
- El anterior análisis sirve cuando ya te dan ofertas y demandas iguales, pero que pasa si la oferta no es igual a la demanda, sino que una es mayor a la otra, y la oferta cambia para satisfacer a la demanda o viceversa, tomemos como ejemplo que la oferta es mayor que la demanda, entonces losproductores tienen una cierta cantidad de bien en su posesión la cual se denomina el inventario del bien, pero si la demanda es mayor que la oferta entonces se dice que los productores deben adquirir inventario.
- matemáticamente esto se puede expresar como un  , y la cantidad acumulada en el intervalo de tiempo entre  y  es  y esto es igual a .
- Entonces sumando esto más mis...