5912_7715AP_02
Páginas: 253 (63157 palabras)
Publicado: 4 de enero de 2016
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ALGEBRA
Y GEOMETR´IA
NOTAS DE CURSO
Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald
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DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
−UNS
2008
A Bib´ı Maccari, Laura Rueda y Sonia Savini,
cuyos pertinentes comentarios permitieron las sucesivas mejoras de estas notas, ¡ gracias !
´Indice General
1 N´
umeros Complejos
1.1 Forma bin´omica. Operaciones. M´odulo y conjugado .
1.2 Representaci´on geom´etrica de los n´umeros complejos
1.3 Forma polar. Operaciones. Potencia y radicaci´on . .
1.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
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. 9
. 10
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Polinomios
2.1
2.2
2.3
23
Definici´on. Grado. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Ra´ıces de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y
3.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales . . . . . .
3.3 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
3.4 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Vectores
4.1 Segmentos orientados. Vectores libres . .
4.2 Proyecci´on ortogonal y producto escalar
4.3 Orientaciones del Plano y el Espacio . .
4.4 Producto vectorial y producto mixto . .
4.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
determinantes39
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Rectas en el Plano. Rectas y planos en el Espacio
5.1
5.2
5.3
39
42
49
54
60
65
72
76
77
81
84
Ecuaci´on de la recta en el Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Rectas y planos en el Espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6 Espaciosvectoriales
6.1 Definici´on. Propiedades .
6.2 Subespacios . . . . . . . .
6.3 Dependencia lineal y bases
6.4 Componentes . . . . . . .
6.5 Ejercicios . . . . . . . . .
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106
110
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7 Cambio de base. Bases ortonormales
7.1 Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Espacios con producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
115
. 115
. 123
. 127
8 Transformaciones lineales
130
8.1 Definici´on y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.2 Matriz asociada a una transformaci´on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9 Autovalores yautovectores
9.1 Definici´on y ejemplos . . . . . . . . .
9.2 C´alculo de autovalores y autovectores
9.3 Transformaciones lineales sim´etricas .
9.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .
139
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Y GEOMETR´IA
NOTAS DE CURSO
Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald
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DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
−UNS
2008
A Bib´ı Maccari, Laura Rueda y Sonia Savini,
cuyos pertinentes comentarios permitieron las sucesivas mejoras de estas notas, ¡ gracias !
´Indice General
1 N´
umeros Complejos
1.1 Forma bin´omica. Operaciones. M´odulo y conjugado .
1.2 Representaci´on geom´etrica de los n´umeros complejos
1.3 Forma polar. Operaciones. Potencia y radicaci´on . .
1.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Polinomios
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2.3
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Definici´on. Grado. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Ra´ıces de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y
3.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales . . . . . .
3.3 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
3.4 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Vectores
4.1 Segmentos orientados. Vectores libres . .
4.2 Proyecci´on ortogonal y producto escalar
4.3 Orientaciones del Plano y el Espacio . .
4.4 Producto vectorial y producto mixto . .
4.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Ecuaci´on de la recta en el Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Rectas y planos en el Espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6 Espaciosvectoriales
6.1 Definici´on. Propiedades .
6.2 Subespacios . . . . . . . .
6.3 Dependencia lineal y bases
6.4 Componentes . . . . . . .
6.5 Ejercicios . . . . . . . . .
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7 Cambio de base. Bases ortonormales
7.1 Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Espacios con producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
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8 Transformaciones lineales
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8.1 Definici´on y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.2 Matriz asociada a una transformaci´on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9 Autovalores yautovectores
9.1 Definici´on y ejemplos . . . . . . . . .
9.2 C´alculo de autovalores y autovectores
9.3 Transformaciones lineales sim´etricas .
9.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .
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