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Espacios Vectoriales
 
 
Definición: Un espacio vectorial real V (“real” se refiere a que los escalares son números reales en vez de complejos) es un conjunto de objetos, llamados vectores, con dos operaciones definidas: la suma vectorial y la multiplicación escalar, que satisface las siguientes condiciones:
 
1. Si x,y є V, entonces x + y є V (Clausura bajo la adición o suma).
2. Paratodo x, y, z є V tenemos que (x + y) + z = x + (y + z) (Asociativa bajo la suma).
3. Existe un vector cero, 0 є V tal que para todo x є V tenemos que x + 0 = 0 + x = x (Existencia del vector cero).
4. Si x є V existe un vector –x en V tal que x + (-x) = 0 (Existencia del inverso aditivo).
5. Si x,y є V entonces x + y = y + x (Conmutativa de la suma).
6. Si x є V y a es un escalar,entonces  a ∙ x є V (Clausura para el producto por un escalar).
7. Si x,y є V y a es un escalar, entonces a ∙ (x + y) = a∙ x + a ∙y (Primera propiedad distributiva: suma de vectores).
8. Si x є V y a, b son escalares, entonces (a + b) ∙ x = a ∙x +  b∙x (Segunda propiedad distributiva: suma de escalares).
9. Si x є V y a,b son escalares, entonces a ∙ (b ∙ x) = (ab) ∙ x (Asociativa de la multiplicación escalar).
10.Para todo vector x є V, tenemos que 1∙x = x (El escalar 1 se llama el elemento identidad de la multiplicación).
Esta definición tiene muchos detalles que debe leer con cuidado.  Fíjese que hay dos conjuntos {V, escalares} con dos ceros {0, 0} que No son iguales.  Hay dos operaciones de suma que debes distinguir: suma entre vectores (+) y entre escalares (+). Igualmente con la multiplicación devector por un escalar (∙) y la  multiplicación entre escalares.  Como las operaciones de Suma “+”,  y multiplicación por un escalar en el espacio V se definen de forma diferente  en cada espacio vectorial  a menudo estas generalizaciones (o abstracción) de las operaciones se denotan usando otros símbolos para No confundirles con la suma y multiplicación de números reales, matrices u otros. Porejemplo en el texto se denota:
a)    suma “”
b)     producto escalar “ʘ”
 
Estas 10 propiedades nos dicen que  V es una generalización de el espacio euclidieano que hemos estudiado hasta ahora:  ℝn 
 
Ejemplos:
 
1. Sea V = {u= (x, y)│x, y є ℝ}, con las operaciones:
a)    suma de vectores: para u = (x1,y1), v=  (x2,y2) entonces                                       u + v = (x1 + x2,y1+ y2)b)    producto por un escalar:  para a є ℝ,  u = (x1,y1) є V,  a ∙u= (a x1, a y1). Entonces V es un espacio vectorial, es decir satisface las 10 propiedades anteriores que definen al espacio vectorial.
 
2. Sea V = {u =(x, y)│ y ≥ 0},  con las operaciones definidas como en el ejemplo anterior.  V consiste de los pares ordenados en ℝ2 que están en los Cuadrantes I y II. V no es un espaciovectorial porque para el vector (1, 1) no existe el inverso (-1, -1) ya que (-1, -1) no es elemento de V. Además si a < 0 entonces au= ( ax, ay) no es elemento de V.
 
3. Sea V = ℝn = {u =(x1, x2, x3, …, xn)│xi є ℝ para i = 1, 2, 3, …, n}, con la suma de vectores y multiplicación por un escalar típicas,  entonces V es un espacio vectorial.
 
4. Sea V = {0}, con suma y multiplicación típicas, satisfacelas diez propiedades. Es un espacio vectorial. Usualmente se conoce como el espacio vectorial trivial.
 
5. Sea V = {1}, con suma y multiplicación típicas. No es un espacio vectorial pues 1 + 1 = 2. 2 no es elemento de V (no satisface la propiedad de la clausura en la adición ni tampoco otras propiedades cuando a < 0).
 
6. Sea V = {(x, y)│y = mx, donde m є ℝ constante, x є ℝ arbitrario}, conla suma entre puntos y producto por un escalar igual al primer ejemplo. Vemos que V consiste de todos los puntos en la recta y = mx que pasa por el origen con pendiente m.  V es un espacio vectorial.
 
7. Sea V = {(x, y)│y = 2x + 1, x є ℝ}, con la suma y producto del primer ejemplo. Vemos que V es el conjunto de todos los puntos en la recta y = 2x + 1. V no es un espacio vectorial,...