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Guía de Ejercicios de Nacimiento y Muerte

Recopilación de Problemas preparado por Denis Sauré

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1.

Problemas de Nacimiento

1. Un centro de fotocopiado dispone de 2 m´quinas fotocopiadoras, manejadas por operarios distina tos. Al local llegan clientes (en su mayor´ estudiantes) de acuerdo a un proceso Poisson de tasa ıa λ [clientes/segundo]. El n´ mero de copias que desea cadacliente se puede aproximar por una variable aleatoria continua u exponencialmente distribuida, con media 1/β [copias]. Las m´quinas fotocopiadoras difieren en su a velocidad: la m´quina 1 (la m´s r´pida) demora exactamente 1/α1 segundos por copia, mientras que a a a la m´quina 2 demora 1/α2 segundos por copia (α1 > α2 ). a Se atiende a los clientes en orden de llegada, form´ndose una cola cuando lleganclientes estando a ambas m´quinas ocupadas. El cliente a la cabeza de la cola ser´ atendido en la primera m´quina que a a a se desocupe. Si cuando llega un cliente est´n las 2 m´quinas desocupadas, se le atender´ de inmediato a a a usando la m´quina 1. a La experiencia indica que en los 2 × 3 [m2 ] del local cabe un n´ mero arbitrariamente grande de u estudiantes esperando por fotocopias. a)¿C´mo se distribuye el tiempo que toma la atenci´n de un cliente cualquiera con la m´quina o o a 1?. ¿Y con la m´quina 2?. Note que si X es una v.a. con distribuci´n exponencial de media M a o entonces, para s > 0, sX sigue una distribuci´n exponencial de media sM . o Modele el estado de ocupaci´n del local como una cadena de Markov en tiempo continuo. ¿Qu´ condio e ci´n deben satisfacer λ, β, α1 y α2para que exista estado estacionario?. Asuma que dicha condici´n o o se cumple, y que, en consecuencia, existe una ley de probabilidades estacionarias (no es necesario que las calcule). u Hint: Considere estados definidos por el n´ mero de clientes presentes en el local, salvo en los casos en que ello sea ambiguo.

b)

Responda en t´rminos de las probabilidades estacionarias y los par´metros delproblema: e a c) ¿Cu´l es la tasa media de utilizaci´n (porcentaje del tiempo que est´ trabajando) de cada una de a o a las m´quinas en el largo plazo?. a d ) En promedio, ¿Cu´ntos clientes por unidad de tiempo son atendidos en cada una de las m´quinas a a (i.e. tasa de salida de clientes de cada una)?. ¿Qu´ fracci´n de los clientes que llegan al local son e o atendidos por la m´quina 1?. a e) Enpromedio, ¿Cu´nto tiempo pasa esperando en cola un cliente cualquiera?. a 2. Imagine que usted trabaja en una fabrica artesanal de calcetines. Su tarea es te˜ ir los calcetines, luego n empaquetarlos en parejas. Los calcetines a te˜ir llegan de a uno y el lapso de tiempo entre la llegada n de calcetines consecutivos se distribuyen exponencialmente con tasa λ [calcetines/u.t]. El tiempo que usteddemora en te˜ ir un calcet´ se distribuye exponencialmente con media 1/µ [u.t]. Usted puede n ın te˜ ir como m´ximo dos calcetines simult´neamente (uno en cada mano). Si un calcet´ que llega, n a a ın lo encuentra con las dos manos ocupadas, ´ste se pierde. Una vez que tiene dos calcetines te˜ idos, e n los empaqueta y son puestos a la venta. El tiempo que demora en empaquetar puede asumirse comodespreciable. a) b) Modele la situaci´n antes descrita como una cadena de Markov en tiempo continuo. o Argumente si existen o no probabilidades estacionarias. En caso afirmativo, calc´lelas. u

c) ¿A que tasa debe te˜ ir si se desea que, en el largo plazo 95 de cada 100 calcetines que llegan lo n encuentran con al menos una mano vac´ ıa?. Si obtiene una ecuaci´n complicada, la puede dejar oexpresada.

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d ) Suponiendo que todos los pares de calcetines te˜ idos se venden instant´neamente, calcule el precio n a m´ ınimo que debe cobrar para que el negocio sea rentable en el largo plazo. Para ello asuma que el costo por calcet´ que llega es C[u.m.] y el costo por te˜ ir es de H [u.m./u.t]. ın n 3. En cierto pueblo viven actualmente kN habitantes. Este pueblo cuenta con un solo...