6 Concav Max Min

Introducción al Clculo Infinitesimal.
I.T.I. de SISTEMAS.

Funciones reales de una variable real.6.- Concavidad y discusión general de extremos relativos .Concavidad y puntos de inflexión.
Sea f(x) derivable sucesivamente en un intervalo.
Lo primero, precisar que entendemos por concavidad hacia arriba o hacia abajo. Para ello
estudiaremos la posición relativa curva/tangente en sus puntos.

Si lacurva esta por encima de la recta tangente: Cóncava hacia arriba.

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Si la curva esta por debajo de la recta tangente: Cóncava hacia abajo.

Criterio:
Sea f (x) es derivable n veces en un punto de su dominio.
Si f `` (a) < 0 entonces ser Cóncava hacia abajo. Si f `` (a) > 0 ser Cóncava hacia arriba. (Esto
se puede extender para derivadas de orden par)
Si f `` (a) = 0 condición necesaria dePunto de Inflexión, que son los puntos donde se cambia la
concavidad de la curva. Observa que en dichos puntos, la recta tangente atraviesa la curva.

En general:
f `` (a) = 0 es condición necesaria de Punto de Inflexión; a ser efectivamente un punto de
inflexión si, a partir de esta, la primera derivada no nula es de orden impar.

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Discusión general de maximos /minimos de una función.
Sise cumple que f `(a) = 0 ( condición necesaria de extremo):
Si f ``(a) > 0 ---> El punto de abscisa a es un MÍNIMO, y esto es extensible si se anulan las
siguientes derivadas, en el caso de que la primera no nula sea orden par

Si f ``(a) < 0 ---> El punto de abscisa a es un MÁXIMO, y esto es extensible si se anulan las
siguientes derivadas, en el caso de que la primera no nula sea orden parEjemplo1:
Estudiar los puntos maximos/minimos/ inflexión de las funciones: f1 = x4

;

f2 = x5.

f1 = x4 ---> f1 ` = 4 x3 ; f1 `` = 12 x2 ; f1 ``` = 24 x , f 1```` = 24; luego el punto de abscisa x = 0
es mínimo y en la función f2 ser punto de inflexión.

Ejemplo 2.
Estudiar los puntos maximos/minimos/ inflexión de la función y =

x+1
x2 + 1

.

La función es continua en todo R.

y`=

1 − 2 x − x2
(x+ 1)
2

2

tambien es derivable en todo R. y `` = 2

x3 + 3 x2 − 3 x − 1
(x + 1)
2

De y `= 0 --> x1 = -1 +

2 ; x2 = -1- 2 .

De y `` = 0 ---> x3 = 1;

x4 = -2 + 3 ;

3

.

x5 = -2 - 3 .

- ∞ ---------- x5 ---------- x2 ------- x4 ----- 0 ----- x1 --------- x3 --------- + ∞

entre x4 y x1 esta 0 y f `` (0) <0 --> cóncava hacia abajo, luego de ahí podemos deducir,
alternando la concavidad, losrestantes intervalos y como consecuencia los puntos de inflexión
ademas de la máximos y mínimos. Veamos el gráfico.

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Ejemplo 3.
x2 + 2
Estudiar crecimiento, extremos, concavidad y puntos de inflexión de f( x ) =
x−3
> restart:with(plots):
f:=x-> (x^2+2)/(x-3);
x2 + 2
f := x →
x−3
Esta función es continua para todo R salvo en x =3 que presenta una discontinuidad:
> limit(f(x),x=3,left);limit(f(x),x=3,right);
−∞
∞
> D(f)(x);deri1:=factor(%);
crece:=solve({D(f)(x)>0});
decrece:=solve({D(f)(x)<0});
x
x2 + 2
2
−
x − 3 ( x − 3 )2
deri1 :=

x2 − 6 x − 2
( x − 3 )2

crece := { x < 3 − 11 }, { 3 + 11 < x }
decrece := { 3 − 11 < x, x < 3 }, { 3 < x, x < 3 + 11 }
Grfico con los intervalos de crecimiento/decrecimiento : Rojo Crece, azul Decrece.
>c1:=plot(f(x),x=-10..3-sqrt(11),y=-20..20,color=red,thickness=3)
:
c2:=plot(f(x),x=3+sqrt(11)..10,color=red,thickness=3):
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d1:=plot(f(x),x=-3-sqrt(11)..3,color=blue,thickness=3):
d2:=plot(f(x),x=3..3+sqrt(11),color=blue,thickness=3):
display({c1,c2,d1,d2});

Máximo =(3 − 11 , f( 3 − 11 ) mínimo =( 3 + 11 , f( 3 + 11 )
> D(D(f)(x));deri2:=factor(%);
Concav_Arriba:=solve({D(D(f))(x)>0});
Concav_Abajo:=solve({D(D(f))(x)<0});
D( x )
x D( x)
( x 2 + 2 ) D( x )
2
−4
+2
x−3
( x − 3 )2
( x − 3 )3
deri2 := 22

D( x )
( x − 3 )3

Concav_Arriba := { 3 < x }
Concav_Abajo := { x < 3 }
> c1:=plot(f(x),x=-10..3,y=-20..20,color=green,thickness=3):
c2:=plot(f(x),x=3..10,color=yellow,thickness=3):
display({c1,c2});

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No tiene puntos de inflexión.

Ejercicios con Maple.
> restart:with(plots):
f:=x-> x^3-3*x;
D(f)(x):deri1:=factor(%);...