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TRILCE

Capítulo

6

MCD Y MCM DE POLINOMIOS
FRACCIONES ALGEBRAICAS

Regla para calcular el MCM y MCD de Polinomios :

Simplificación de Fracción Algebraica

1.
2.

Para poder simplificar, el numerador y denominador
deben estar factorizados para luego cancelar los factores que
presenten en común.

3.

Se factorizan los polinomios dados.
El MCD estará formado por la multiplicación de todos
losfactores primos comunes de los polinomios dados,
considerados con su menor exponente.
El MCM está formado por la multiplicación de factores
primos no comunes y comunes, a los polinomios dados,
considerados con su mayor exponente.

Ejemplo :
Simplificar :

x2  9
x 2  2x  15

Ejemplo :
Hallar el MCD y MCM de los polinomios:

Resolución :

x 2  32
2

x  2x  15

P(x)  x 3  x 2  x  1  Q(x)  x3  x 2  2x
Factorizando : P(x )  (x  1)2 (x  1)
"

Q(x)  x (x  2)(x  1)

5

x

3

(x  3)(x  3)
x3
=
(x  5)(x  3)
x 5

Operaciones con Fracciones
I.

 MCD [P(x);Q(x)]  x  1

 MCM[P(x);Q(x)]  (x 1)2(x  1)x(x  2)

x

=

Adición y/o Sustracción :
En este caso, es necesario dar común denominador
(MCM de los denominadores), salvo que las fracciones
sean homogéneas(denominadores iguales). Así
tenemos :

Propiedad :
A. Fracciones Homogéneas :
Dados los polinomios A y B.
Ejemplo :

MCD ( A , B) . MCM (A , B)  A  B

FRACCIÓN ALGEBRAICA

A
Es toda expresión de la forma
donde por lo menos
B
"B" debe ser literal.
Ejemplo :
*

Son fracciones algebraicas

x  1 2 x3  1
,
,
x 1 x
x2
pero :

A B C ABC
  
x x x
x
B. Fracciones Heterogéneas :
Ejemplo :

A B C Anp  Bmp Cmn
  
m n p
mnp
C. Regla Práctica (para 2 fracciones):

A
C AD  BC


B
D
BD

x 2
,
 no son fracciones algebraicas
7 5

59

Álgebra
II.

Multiplicación :
En este caso, se multiplica numeradores entre sí, de
igual manera los denominadores.

Ejemplo :
III.

Transformación de Fracciones en Fracciones
Parciales

A C AC


B D BD

División de Fracciones :
En este caso, se invierte la segundafracción y luego se
ejecuta como una multiplicación.

A C A


B D B

Importante : generalmente es conveniente simplificar las
fracciones antes, y después operar fracciones.



D AD

C BC

Este es un proceso inverso a la adición o sustracción
de fracciones. Es decir una fracción se transforma en la adición
o sustracción de fracciones que le dieron origen, veamos :
Ejemplo :
*

1
1
2x

 2
x1 x 1
x 1

ó

A
B  AD
C BC
D

60

Efectuar :

*

Transformar a fracciones parciales :

2x
x2  1



1
1

x 1 x 1

EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Hallar el MCD de los polinomios :
2

3

4

M(x)  (x  6) (x  7) (x  9)
3

2

3

a) a + 1

b) a - 1

d) (a  1)2

e) 1

c) (a  1)2

N(x)  (x  10) (x  7) (x  6)

07. Luego de efectuar :
a) (x-7)(x+6)

b) x + 9

c) x + 10
d) (x  7)2 (x  6)2
e)(x+10)(x+9)(x+6)(x-7)
02. Indicar el MCM de los polinomios :

a) x 2  3
d) 2x + 3

P(x)  (x  3)3 (x  6)(x  1)4
F(x )  (x  1)2 (x  3)3

c) x + 3

x 1 x 1
4

 2
x 1 x 1 x 1
Indicar el cubo del denominador.

b) (x  1)4 (x  3)3 (x  6)

(x  1)2 (x  6)2 (x  3)

d) (x  1)4 (x  3)3
e)

b) x - 3
e) 2x - 3

08. Efectuar :

a) (x-1)(x+3)(x+6)

c)

1
2x

x2  1 x2  x
el numeradorobtenido, es :

(x  1)2 (x  3)2 (x  6)

03. Hallar el MCD de los polinomios :
2

P(x ; y)  x  xy  6 y

b) x - 3y
e) x - y

c) x - 2y

b) 1
e) 4

3x  2
x 2  3x  4

equivale a :

a) -1
d) -2

b) 1
e) -3

c) 2

10. Efectuar :

x  1 2x 2
.
x x2  1
Indicar la octava parte del numerador simplificado.

2

P(x)  x  6x  11x  6
para : x = 4, es :
c) 5

05. ¿Cuántos factores cuadráticos presentael MCM de los
polinomios?
3

e) (x  1)3

c) x 3

m
n
, entoces ; m - n es igual a :

x 1 x  4

F(x )  x 3  x 2  x  1

a) 25
d) 3

d) (x  1)3

09. La fraccción

04. El valor numérico del MCD de los polinomios :

3

b) 64

2

F(x ; y)  x 2  xy  2y 2
a) x + 2y
d) x + y

a) 64 x 3

a) 0,25 x 2
d) 0,5x

b) 0,25x
e) 0,625x

c) 0,125x

11. Efectuar :

2

1
b
 2
2
2
a
a   b a b  a  ab...