6

Álgebra - Polinomios

Definición de Polinomio y sus Propiedades
Un polinomio es una suma de términos algebraicos; es decir

𝑝(𝑥) = 𝑎0 𝑥 0 + 𝑎1 𝑥 1 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛

Para considerarsepolinomio, es necesario destacar que los exponentes de 𝑥 siempre son
enteros mayores o iguales a cero. Los coeficientes pertenecen al conjunto de los complejos.

Grado de un polinomio

El grado de unpolinomio 𝑝(𝑥) es la mayor potencia de 𝑥 dentro del polinomio cuyo
coeficiente es no nulo. Se denota como gr(𝑝).

Igualdad de polinomios

Dos polinomios 𝑝(𝑥) y 𝑞(𝑥) son iguales, si y solo si
1.
2.

susrespectivos grados son iguales.
son iguales término a término.

La suma de polinomios es un equivalente a la reducción de términos semejantes. Tiene las
siguientes propiedades:
cerradura.
asociación.conmutación.
elemento neutro, donde el polinomio nulo tiene grado indefinido.
elemento inverso.

MULTIPLICACIÓN
Para la multiplicación de polinomios se realiza la multiplicación de cada término delprimer
factor por todo el segundo factor. Al finalizar se hace una reducción de términos semejantes.
Sus propiedades son:
1

cerradura.
asociación.
conmutación.
elemento neutro, donde el polinomiounidad tiene grado cero.
distribución.

Multiplicación por un escalar

Otra multiplicación es la indicada por un escalar (un número complejo) por un polinomio: cada
término del polinomio se multiplica porel escalar.

EJEMPLO. El polinomio resultado de operar
3(𝑥 2 + 2𝑥 − 1) + (𝑥 − 2)(𝑥 3 + 𝑥 + 1) =
(3𝑥 2 + 6𝑥 − 3) + (𝑥 4 + 𝑥 2 + 𝑥 − 2𝑥 3 − 2𝑥 − 2) =
(3𝑥 2 + 6𝑥 − 3) + (𝑥 4 − 2𝑥 3 + 𝑥 2 − 𝑥 − 2) = 𝑥 4 −2𝑥 3 + 4𝑥 2 + 5𝑥 − 5

Divisibilidad de Polinomios

El polinomio 𝑔(𝑥) es un factor de 𝑓(𝑥) si existe un polinomio 𝑞(𝑥) tal que

Operaciones
ADICIÓN













2015

Ing. Aldo JiménezArteaga

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)𝑞(𝑥)

Por lo tanto, 𝑓(𝑥) es divisible entre 𝑔(𝑥). Si 𝑔(𝑥) no es factor, entonces se puede calcular el
polinomio 𝑟(𝑥) tal que
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)

Esta expresión se puede reescribir...