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Probabilidad y Estadística










VARIABLE ALEATORIA












INTRODUCCION

En las Matemáticas es común el establecer modelos que generalicen situaciones particulares; así por ejemplo en el álgebra se habla de productos notables para representar algunos productos que aparecen con mucha frecuencia, de igual manera en el cálculo se clasifican las funciones de acuerdo con algunas de suscaracterísticas. La probabilidad no es la excepción a esta práctica, existen experimentos aleatorios que a pesar de tener orígenes distintos tienen características comunes que permiten buscar un modelo probabilístico que los represente.
En este capítulo, estableceremos algunos modelos que representan situaciones con características similares.



Objetivo.

El objetivo de este capítulo es presentarel concepto de variable aleatoria, clasificar las variables aleatorias en discretas y continuas, analizar algunas características de las variables aleatorias, tales como el valor esperado y la varianza y finalmente, analizar algunos modelos de las variables aleatorias más comunes en la práctica.




6.1 VARIABLE ALEATORIA.
A continuación, analizaremos un concepto por medio del cual podremosgeneralizar modelos útiles para la obtención de probabilidades asociadas con eventos, mediante una transformación a través de una función que relaciona los resultados del experimento con valores reales, dicho concepto se denomina "variable aleatoria".
Consideremos los siguientes experimentos:
1. Seleccionar al azar familias que tienen 4 hijos y observar los sexos de ellos.
2. Seleccionar al azar tresartículos producidos en una línea de fabricación y observar la secuencia del estado de los mismos, considerándolos defectuosos(D) y no defectuoso (N).
En el primer experimento los posibles resultados que se pueden tener, que constituye su espacio muestra son: {MMMM, MMMH, MMHM, MHMM, HMMM, MMHH, MHMH, HMMH, MHHM, HMHM, HHMM, MHHH, HMHH, HHMH, HHHM, HHHH}. Sin embargo si tuviésemos interés endeterminar el número de hombres entre los hijos de una familia seleccionada, es claro que los elementos del espacio muestra se relacionarían funcionalmente con los valores reales { 0, 1, 2, 3, 4 }.
En el segundo experimento los posibles resultados son: {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD}. Si ahora tuviésemos interés en determinar el número de artículos defectuosos encontrados, los resultados delespacio muestra se asociarán con alguno de los siguientes valores reales: { 0, 1, 2, 3 }.
En ambos ejemplos, nos damos cuenta de lo siguiente:
a. El espacio muestra del experimento aleatorio puede transformarse en un conjunto de números reales.
b. En cada experimento hemos puntualizado nuestro interés (en un momento dado) en "el número de hijos varones" ó "el número de artículos defectuososencontrados".





VARIABLE ALEATORIA.
Sea S el espacio muestra de un experimento aleatorio. Una función X que relaciona a cada s S con un valor real x(s) se denomina variable aleatoria. Esto es: X  .



Podemos esquematizar las variables aleatorias de los ejemplos dados en la introducción de la siguiente manera.

Para el experimento asociado con las familias de cuatro hijos tenemos:


Mientras quepara el problema relacionado con los artículos de la línea de fabricación tenemos:



Una de las características más importantes de las variables aleatorias, es el conjunto de valores reales que puede tomar a partir de su definición.

RANGO DE LA VARIABLE ALEATORIA.

El conjunto de valores reales que una variable aleatoria X puede tomar se denomina el rango de la variable aleatoria.


VARIABLESDISCRETAS Y CONTINUAS.

Si el rango de la variable aleatoria es un conjunto finito o infinito pero numerable de elementos, recibe el nombre de variable aleatoria discreta, mientas que es llamada variable aleatoria continua si su rango es un conjunto infinito y no numerable de elementos.

EJEMPLO 6.1
A continuación definiremos cuatro variables aleatorias dentro de un mismo experimento aleatorio. Se...