6203 Ejercicios_Resueltos_ _Dielectricos_ 01

Problema :
Se tiene la configuraci´
on de la figura 1, donde el cilindro interior, de radio a es un conductor, rodeado de dos
c´ascaras diel´ectricas de radios b y c y con permitividades 1 y 2 , y finalmente por una c´ascara conductora
de radio exterior d. El conductor interior tiene una carga Q1 y el exterior una carga Q2 . La longitud de los
cilindros es L >> d. Se pide calcular:
a) Lasdensidades, en volumen y superficie, de carga libre
b) Las densidades, en volumen y superficie, de carga de polarizaci´on.
c) El campo el´ectrico en todo el espacio
d) El potencial electrost´
atico en todo el espacio.

Figura 1:
Calculamos primero las densidades de carga libre. La carga libre se encuentra en los conductores (nada
en el enunciado del problema nos indica la existencia de carga libre en losdiel´ectricos), de modo que solo
tendremos densidades superficiales de carga. En el conductor interior la carga total es Q1 , de manera que la
densidad de carga libre en la superficie de radio a ser´a
σa =

Q1
2πaL

En la c´ascara conductora el campo el´ectrico es nulo. Entonces, tomando, en la c´ascara conductora, una
superficie de Gauss cil´ındrica conc´entrica con los cilindros de laconfiguraci´on se tendr´a
E.ds =

Qenc
0

o bien
0=

Qa + Qc

=⇒ Qc = −Qa = −Q1

0

Obteniendo luego
σc = −

1

Q1
2πcL

En la c´ascara conductora la carga es
Q2 = Qc + Qd
De donde
Qd = Q2 − Qc = Q2 + Q1
de forma que en la superficie exterior se tiene la densidad de carga
σd =

Q1 + Q2
2πdL

Ya est´an calculadas las densidades de carga libre.
Calculamos ahora el campo el´ectrico. En todos los casos, alusar superficies de Gauss, estas ser´an cil´ındricas,
conc´entricas con el resto de los cilindros, y de longitud L << L, de manera de poder asegurar que el campo
el´ectrico es radial y dependiente solo de ρ, con lo cual el flujo del campo el´ectrico sera distinto de cero solo
en las caras laterales del cilindro. Algunas cuentas se repiten en varias oportunidades, de modo que se har´an
con detallesolo en el primer caso.
ρ < a: Estamos en el interior de un conductor, de manera que E = 0
a < ρ < b: Planteando la ley de Gauss para el campo Desplazamiento
D.ds = Qlibre =⇒ D(ρ)2πL ρ = σ1 2πaL
D(ρ) =
o bien

σ1 a
ρ
Q1
2πLρ

D(ρ) =
y luego
E(ρ) =

D(ρ)

=

0 r1

Q1
2π

0 r1 Lρ

Se calcula ahora el campo de polarizaci´on
P (ρ) = D(ρ) −

0 E(ρ)

=

Q1
2πLρ

1−

1
r1

b < ρ < c: De forma similar alcaso anterior resulta
Q1
2πLρ

D(ρ) =
y luego
E(ρ) =

D(ρ)

=

0 r2

P (ρ) = D(ρ) −

0 E(ρ)

Q1
2π

=

0 r2 Lρ

Q1
2πLρ

c < ρ < d: interior de la c´
ascara conductora, D = 0, E = 0

2

1−

1
r2

ρ > d: planteando el teorema de Gauss
E.ds =

Qenc

=⇒ E(ρ)2πL ρ =

σa 2πaL + σb 2πbL + σc 2πcL

0

=

0

=

Q1 L
Q1 L
(Q1 + Q2 )L
−
+
L
L
0
0
0L

de donde
E(ρ) =

Q1 + Q2
2 0 πLρ

D(ρ) =

Q1 + Q2
2πLρ

yFinalmente, especificando el car´
acter vectorial de los campos, se tiene

0 si ρ < a








Q1


ρˆ si a < ρ < b


2πL 0 r1 ρ






Q1
ρˆ si b < ρ < c
E(ρ) =

2π
0 r2 Lρ







0 si c < ρ < d








Q + Q2

 1
ρˆ si ρ > d
2π 0 Lρ

0 si ρ < a




Q1


ρˆ si a < ρ < b


2πLρ







 Q1
ρˆ si b < ρ < c
D(ρ) =
2πLρ






0 si c < ρ < d







Q + Q2

 1
ρˆ si ρ > d
2πLρ

Q1
1


1−



2πLρ
r1




Q1
1
P (ρ) =
1−



2πLρ
r2






0 en otro caso

ρˆ si a < ρ < b

ρˆ si b < ρ < c

Calculamos ahora el potencial electrost´
atico. Si intentamos definir el punto de referencia del potencial en el
infinito, las integrales que se calcular´
an a continuaci´on divergir´an (comprobarlo). Tomamos entonces el cero
depotencial en un radio ρ0 > d, de modo que V (ρ = ρ0 ) = 0.
3

ρ>d:
ρ

V (ρ) − V (ρ0 ) = −

ρ

E.dρ = −
ρ0

ρ0

Q1 + Q2
Q1 + Q2
dρ = −
ln
2π 0 Lρ
2π 0 L

ρ
ρ0

c<ρ ρ

V (ρ) − V (ρ0 ) = −

d

E.dρ = −
ρ0

ρ

E.dρ −

E.dρ = −

ρ0

d

Q1 + Q2
ln
2π 0 L

d
ρ0

b<ρ c

V (ρ) − V (ρ0 ) = −

ρ

E.dρ −

Q1 + Q2
ln
2π 0 L

E.dρ = −

ρ0

c

=−

Q1 + Q2
ln
2π 0 L

d
ρ0

Q1

−

2π

ρ

d
ρ0

0 r2 L

−...

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