6205 TEOR A DE BANDAS

BANDAS DE ENERGIA en SOLIDOS

MODELO de KRONIG-PENNEY
Dr. Andres Ozols

Noviembre 2004
Dr. A. Ozols

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MODELO ANALITICO DE BANDAS DE ENERGÍA
Las hipótesis del modelo son:
-El electrón en el cristales una partícula libre, con una masa
efectiva. Esta contiene la información sobre la interacción media con
otros electrones, iones, defectos cristalinos, fonones y otros entes
dispersivos.

-Elpotencial de interacción con los iones es periódico.
-La energía potencial del cristal es periódica.
-La interacción con los núcleos atómicos es de corto alcance.
Está decae muy rápidamente al alejarse.Dr. A. Ozols

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MODELO BANDAS DE ENERGÍA
Niveles de energía
próximos al ión en
un potencial
coulumbiano

EP =

q2
4πε 0 r

-Principio de Exclusión de Pauli: dos electrones con spin diferente nopueden
ocupar el mismo nivel de energía.
•Los niveles de energía en el sólido forman bandas de energía.
Dr. A. Ozols

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MODELO DE KRONIG – PENNEY
Este
modelo
describe
el
movimiento de un solo electrón enla una red cristalina periódica
unidimensional. Este atraviesa en
forma dos tipos de regiones en
forma alternada:
región I
región II

Ep = 0
Ep = E0

Ese movimiento de la partícula esta descripto porla Ecuación de
Schrödinger independiente del tiempo:

= 2 ∂ 2ψ ( x)
EP − EC =
2mψ ( x ) ∂x 2
= 2 ∂ 2ψ ( x)
+ ( EP − EC )ψ ( x ) = 0
2
2m ∂x
Dr. A. Ozols

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MODELO DE KRONIG – PENNEY
- El potencialdel cristal describe por medio la función periódica:
u(x) (función de Bloch periódica)
- La función onda ψ

(x) tiene una amplitud modulada en x:

ψ (x) = u(x) ejKx
DETERMINACION DE LAS FUNCIONES DEBLOCH
2m
∂ 2ψ ( x)
( E − EP )ψ ( x)
=
−
∂x 2
=2

ONDA
REGION I EP = 0

2mE
∂ 2ψ ( x )
=
−
ψ ( x)
2
2
∂x
=
Dr. A. Ozols

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DETERMINACION DE LAS FUNCIONES DE BLOCH

2m
∂ 2ψ ( x )
= − 2 ( E − EP )ψ ( x)2
∂x
=
REGION I EP = 0
∂ 2ψ ( x)
2mE
=
−
ψ ( x)
2
2
∂x
=

Si

2mE
α = 2
=
2

ψ I ( x ) = u I ( x )e

jKx

∂ 2ψ I ( x )
jKx
2
=
−
α
u
(
x
)
e
I
∂x 2
Dr. A. Ozols

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DETERMINACION DE LAS FUNCIONES...