6230 MT 13 Sistema De Ecuaciones WEB

C u r s o : Matemática 3º Medio
Material Nº MT-13
UNIDAD: ÁLGEBRA
SISTEMAS DE ECUACIONES
Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas, constituyen
un sistema de ecuaciones lineales.
La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es:
Ax + By = C
Dx + Ey = F

donde A, B, C, D, E y F son números reales.

Se denomina solución del sistema a todo par (x, y)que satisfaga simultáneamente
ambas ecuaciones.
OBSERVACIÓN:

Cada ecuación de un sistema de ecuaciones, representa una línea recta en un sistema de
ejes coordenados.
EJEMPLOS

1.

El par ordenado (2, 1) es solución del (los) sistema(s):
I)

A)
B)
C)
D)
E)

2.

x+y=3
3x - 4y = 2

II)

x+y= 3
-x + 3y = 5

III)

x  y=1
2x + y = 5

Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III

Para queel par ordenado (1, 2) sea solución del sistema
y n deben ser, respectivamente
A) 3 y
B) 3 y
C) 4 y
D) -1 y
E) -1 y

4
5
3
4
5

mx  y = 1
x + ny = 9

los valores de m

MÉTODOS PARA
INCÓGNITAS

RESOLVER

SISTEMAS

DE

DOS

ECUACIONES

LINEALES

CON

DOS

RESOLUCIÓN GRÁFICA: Para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales

con dos incógnitas, se representan ambas rectas en unsistema de ejes coordenados, con lo
cual surge una de las siguientes posibilidades.
I)

Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) es la
solución del sistema (fig. 1).
Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (fig. 2).
Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no hay
solución (fig. 3).

II)
III)
L1

y

y

fig. 1
L2

y

fig. 2

fig. 3

L1 =L2
L1

L2

x

x
L1  L2 = (a, b)

x
L1  L2 =  (vacío)

L1  L2 = L1 = L2

EJEMPLOS

1.

A)

B)

y

2

2.

-3

-x + 3y = 3

C)

y

4

4

-6

2x + 3y = 12

La solución gráfica del sistema

x
3

6

2

x
23

6

D)

y
4

4

2

2

x
3

-4

6

E)

y

y
4
2

x
3

-3

6

3

La figura 4 es la solución gráfica del sistema
A)
B)
C)
D)
E)

-x + y = -2
-x + y = 3

y

-x + y = 2
x  y=3

fig. 4

3

2x  2y =4
3x  3y = 3
-3x + 3y = 2

2

-3

x  y=3

-2

-x  y = -2
-x  y = 3

2

x

x

6

RESOLUCIÓN ALGEBRAICA:

Para resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas existen
varios métodos; repasaremos sólo dos de ellos: sustitución y reducción.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:

Se debe despejar una de las variables en una de las ecuaciones y luego reemplazarla en
la otra ecuación,generándose así una ecuación con una incógnita.

MÉTODO DE REDUCCIÓN:

Se deben igualar los coeficientes de una de las incógnitas, en ambas ecuaciones,
multiplicando ambos miembros convenientemente, obteniéndose un sistema equivalente al
dado, y luego se suman o restan ambas ecuaciones, resultando así una ecuación con una
incógnita.

EJEMPLOS

1.

Sea el sistema

x  y=1
3x  2y = 5

despejando xen una de las ecuaciones y sustituyéndola en

la otra, se obtiene
A) y + 2 = 0
B) 5y – 4 = 0
C) 5y – 2 = 0
D) y – 4 = 0
E)
y–2=0

2.

En el sistema

5x + y = 2
8x + 2y = 1

al eliminar la incógnita y por el método de reducción se

obtiene
A) 13x + 3 = 0
B) 18x + 3 = 0
C) 2x + 3 = 0
D) 2x – 3 = 0
E) 18x – 3 = 0

3

ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

Sea elsistema:






a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2

entonces:

a1
b
≠ 1
a2
b2
a
c
b
El sistema tiene infinitas soluciones, si 1 = 1 = 1
a2
c2
b2

El sistema tiene solución única, si

El sistema no tiene solución, si

a1
c
b
= 1 ≠ 1
a2
c2
b2

EJEMPLOS

1.

En el sistema

6x + ky = 1
2x  y = 5

, ¿qué condición debe cumplir k para que tenga solución

única?

A) k ≠
B) k =
C) k =
D) k ≠
E) k ≠

2.

13
1
3
-3
-3
1
5

¿Para qué valor de k el sistema

A)
B)
C)
D)
E)

4x + 3y = 8
x  ky = 2

4
3
3
4
-12
12
-3

-

4

tiene infinitas soluciones?

APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES

Los sistemas de ecuaciones tienen aplicación en problemas de planteo. Si el enunciado
implica dos incógnitas, dicho problema podrá ser resuelto mediante un sistema de
ecuaciones. Como por ejemplo: problemas de...