651707692 STEMA3 1

PROBLEMAS RESUELTOS TEMA: 3

1.­ Una partícula de 3 kg se desplaza con una velocidad de ૛ ࢓⁄࢙ cuando se encuentra en ࢞ ൌ ૙. Esta partícula se encuentra sometida a una fuerza ࡲ࢞ que varia con la posición del modo indicado en la figura:

a. ¿Cuál es su energía cinética para ࢞ ൌ ૙?

b. ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza cuando la partícula se desplaza desde
࢞ ൌ ૙ ࢓ a ࢞ ൌ ૝࢓?

c. ¿Cuál es la velocidad de la partícula cuando se encuentra en ࢞ ൌ ૝ ࢓?



a)

1 ଶ 1 ଶ
ܧ௖ ൌ 2 ݉ݒ
ൌ · 3 · 2
2
ൌ 6 ܬ

b)

ସ
ܹ ൌ න ܨ௫ ݀ݔ ൌ
଴


6 · 4
ൌ 12 ܬ
2

donde la integral se ha calculado teniendo en cuenta que ésta representa el área encerrada por la figura. En este caso es un triangulo: (base × altura)/2

c) La energía que gana la partícula por laacción de la fuerza en ݔ ൌ 4 es 12 ܬ más los 6 ܬ que ya tenía en ݔ ൌ 0:

ܧ௖ ൌ 12 ൅ 6 ൌ 18 ܬ

1 ଶ 2 ൈ18
ܧ௖ ൌ 2 ݉ݒ
ฺ ݒ ൌ ඨ
ൌ 3,46 ݉⁄ݏ
3
2.­ Un objeto de 4 kg inicialmente en reposo en ࢞ ൌ ૙ se acelera con potencia constante de ૡ ࢃ. En ࢚ ൌ ૢ ࢙ su posición es ࢞ ൌ ૜૟ ࢓. Determinar su velocidad para
࢚ ൌ ૟ ࢙ y su posición ese instante.
Lapotencia cumple:


ܲ ൌ ܨ · ݒ ൌ ݉ · ܽ · ݒ

Según el Ejemplo 2 del párrafo 3.1.2 de los apuntes:

ݔሺݐሻ ൌ ൬ 8ܲ ൰
9݉



ଵൗଶ




ݐ ଷൗଶ

Y con los datos del problema:



8ܲ ଵൗଶ
൰ ൗ
36 ൌ ൬9 · 4
· 9 ଶ
ฺ ܲ ൌ 8 ܹ

(en realidad, este dato ya lo dan en el enunciado aunque no era necesario para resolver el problema).
Derivando la expresión ݔሺݐሻ obtenemos





Para ݐ ൌ 6 ݏy con ܲ ൌ 8 ܹ, resulta


2ܲ ݒ ൌ ൬
݉

ଵൗଶ
൰


· ݐ ൗଶ

ݒ ൌ 4,9 ݉⁄ݏ

y ݔ ൌ 19,6 ݉



La velocidad también se podría haber obtenido del siguiente modo:

1
ܹ ൌ ܲݐ ൌ

1
݉ݒ ଶ
2
8 ൉ 6 ൌ
4ݒ ଶ ฺ ݒ ൌ 4,9 ݉/ݏ
2
3.­ Una máquina de Atwood sencilla utiliza dos masas ࢓૚ y ࢓૛ (࢓૚ ൐ ࢓૛ ሻ. Partiendo
del reposo, la velocidad de las dos masas es ૝ ࢓⁄࢙
al cabo de ૜ ࢙. En este instante, la
energía cinética delsistema es de ૡ૙ ࡶ. Determinar los valores de ࢓૚ y ࢓૛ .

ݒ 4 ݒ ൌ ܽ · ݐ ฺ ܽ ൌ ൌ
ݐ 3

݉⁄ݏଶ



2):
Según se obtuvo en el problema correspondiente de la máquina de Atwood (prob. 2, tema


݉ଵ െ ݉ଶ



Esto es:
ܽ ൌ
݉ଵ ൅ ݉ଶ
݃ ݉ଵ ൐ ݉ଶ




Ahora, la ܧ௖ del sistema es:
1

4 ൌ ݉ଵ െ ݉ଶ
3 ݉ଵ ൅ ݉ଶ


1

݃ ሾ1ሿ
݉ଵሺ4ሻଶ ൅
2
݉ଶሺ4ሻଶ ൌ 80 ሾ2ሿ
2Resolviendo ሾ1ሿ y ሾ2ሿ obtenemos:


݉ଵ ൌ 5,67 ݇݃

݉ଶ ൌ 4,32 ݇݃

Vemos que la m1 debe haber descendido una altura h dada por:

1
݄ ൌ ܽݐ ଶ ൌ
2

1 4
൉ ൉ 3ଶ ൌ 6 ݉
2 3
Esta misma altura la habrá ascendido la masa m2 mientras cae m1.
Por conservación de la energía, en el estado inicial sólo tendríamos la energía potencial de la masa m1 y en el estado final tendríamos energía potencialde la masa m2 y la energía cinética del sistema:



O bien, con h = 6 m:

݉ଵ ݄݃ ൌ 80 ൅ ݉ଶ݄݃



80 ሺ݉ଵ െ ݉ଶሻ݃ ൌ 6

Podríamos haber usado esta ecuación en lugar de la ecuación [1] para resolver el sistema.
4.­ La fuerza que actúa sobre un objeto viene dada por la expresión ࡲሺ࢞ሻ ൌ ࢞૜ െ ૝࢞. Localizar las posiciones de equilibrio estable e inestable y demostrar que en estos
puntos la energíapotencial tiene máximos o mínimos locales.

Como
F   dEP , integrando F y cambiando el signo obtenemos:
dx

ݔସ
ܧ௉ ൌ െ ቆ െ 2ݔଶ ቇ
4

Si representamos ܧ௉ como función de ݔ, resulta:






Para ver dónde existen extremos (máximos y mínimos) haremos un estudio de los puntos críticos de EP derivando e igualando a cero. Sabemos:

݀ܧ௣
െ ൌ ܨ
݀ݔ


Hacemos ܨ ൌ 0 ฺ ݔሺݔଶ െ 4ሻ ൌ 0 ฺ ቄ ݔ ൌ0
ݔ ൌ േ2


Veremos mediante la derivada 2ª cuáles de dichos extremos son máximos o mínimos:

݀ଶ ܧ௣
݀ݔଶ ൌ െሺ3ݔ
െ 4ሻ


En ݔ ൌ 0 ฺ
ௗమா೛
ௗ௫మ

ൌ ൅4 ൐ 0 ฺ ݔ ൌ 0 es mínimo (punto de equilibrio estable).


En ݔ ൌ 2 ฺ
ௗమா೛
ௗ௫మ

ൌ െ0 ൏ 0 ฺ ݔ ൌ 2 es un máximo (punto de equilibrio inestable).


En ݔ ൌ െ2 ฺ
ௗమா೛
ௗ௫మ

ൌ െ8 ൏ 0 ฺ ݔ ൌ െ2 es un máximo (punto de equilibrio inestable).
5.­ Una...