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Lebesgue hablando sobre su integral.
Los Ge´ometras del siglo XVII consideraban la integral de f(x) —el t´ermino integral
no se hab´ıa inventado a´un, pero esto no tiene ninguna importancia— como la suma de una infinidad de indivisibles cada uno de ellos siendo la ordenada, positiva o negativa, de f(x). Y bien, nosotros simplemente hemos agrupado los indivisibles de tama˜no comparable; hemoshecho, como se dice en ´algebra, la reuni´on, la reducci´on de los t´erminos semejantes. Se puede decir que, con el m´etodo de Riemann, se intentaba sumar los indivisibles
tom´andolos en el orden suministrado por la variaci´on de x, se proced´ıa como lo har´ıa un comerciante desorganizado que contara monedas y billetes seg´un fueran cayendo estos en sus manos; en cambio nosotros procedemos como elcomerciante met´odico que dice:
tengo m(E1) monedas de 1 corona lo que hace 1 · m(E1),
tengo m(E2) monedas de 2 coronas lo que hace 2 · m(E2),
tengo m(E3) monedas de 5 coronas lo que hace 5 · m(E3),
etc. . . , as´ı tengo en total:
S = 1 · m(E1) + 2 · m(E2) + 5 · m(E3) + · · · ..
Ambos procedimientos conducir´an al comerciante, sin ninguna duda, al mismo resultado ya que, por muy rico que´este sea, no hay m´as que un n´umero finito de billetes que contar; pero para nosotros que tenemos que sumar una infinidad de indivisibles, la diferencia entre los dos m´etodos es capital.
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La definición de Lebesgue
Recordemos como se define la integral de Riemann; con este propósito, siguiendo
a Lebesgue, consideramos una función continua y creciente
y : [a; b] ! R ;
y “dividimos el intervalo(a; b) en intervalos parciales y hacemos la suma de las cantidades obtenidas al multiplicar la longitud de cada intervalo parcial por uno de los valores de y cuando x esta en ese intervalo.” Esto equivale a tomar una partición
fa0; a1; : : : ; ang de [a; b], donde a = a0 < a1 < : : : < an = b, y considerar las sumas
de la forma
S =
n Xi=0
y(xi)(ai+1 ¡ ai) ;
donde xi est´a en [ai; ai+1].Tras un proceso que involucra el refinamiento de la
partici´on y el paso al l´ımite, obtenemos Rb
a y(x)dx, la integral de Riemann de y.
Usando la misma idea que Riemann, Gast´on Darboux (1842-1917) defini´o las integrales por defecto y por exceso, tambi´en conocidas como integral inferior e integral superior, respectivamente. Para definir estas integrales, denotemos por mi al ´ınfimo y por Mi alsupremo de y en el subintervalo [ai; ai+1]. Al igual que con la integral de Riemann, consideramos las sumas de la forma
S =
n Xi=0
mi(ai+1 ¡ ai);
S =
n Xi=0
Mi(ai+1 ¡ ai) :
Observemos que
S · S · S;
independientemente de la elecci´on de subintervalos. Definimos entonces la integral
inferior de y por
Z b
a
y(x)dx = sup S;
donde hemos tomado el supremo sobre todas las posiblescolecciones de subintervalos
de [a; b]. De manera similar, definimos la integral superior de y por
Z b
a
y(x)dx = inf S:
4 FERNANDO GALAZ-GARCIA
Notemos que siempre se cumple
Z b
a
y(x)dx · Z b
a
(3.1) y(x)dx:
Las integrales inferior y superior tienen el mismo valor ´unicamente cuando la integral
de Riemann existe; en este caso las tres integrales coinciden.
La funci´on de Dirichlet,definida en [a; b] por
f(x) = ( 0 ; x irrracional
1 ; x racional
;
nos muestra claramente que es posible tener una desigualdad estricta en (3.1). En consecuencia, la integral de Riemann de f no existe.
Notemos ahora que, “si x est´a en el intervalo (ai; ai+1), y var´ıa entre ciertos
l´ımites mi; mi+1, y rec´ıprocamente si y est´a entre mi y mi+1, x est´a entre ai y
ai+1.” Al tomar la divisi´on dela variaci´on en x, es decir, los n´umeros ai, como punto de partida para la definici´on de integral obtenemos las construcciones hechas por Riemann y por Darboux. Por otra parte, tambi´en hubi´eramos podido tomar la
“divisi´on de la variaci´on de y, es decir, los n´umeros mi.” ´Esta es precisamente la idea en que est´a basada la integral de Lebesgue.
Veamos c´omo define Lebesgue esta...