66888 EJERCICIOS RESUELTOS LIMITEYCONTINUIDAD

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Prof.:luis orozcofuenzalida
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS II MAT62200

LÍMITE Y CONTINUIDAD
LÍMITE
¸B  "¸

1.- Sean 0 ÐBÑ œ B  " . Complete el siguiente cuadro y utílice estos resultados para
estimar el valor de 637 0 ÐBÑ, si éste existe:
BÄ"

B
0 ÐBÑ
Solución:

B
0 ÐBÑ

!ß )

!ß )
"

!ß *

!ß *
"

!ß *)

!ß *)
"

!ß ***!ß ***
"

"
Î
b
"
Î
b

"ß !!"

"ß !!"
"

"ß !"

"ß !"
"

"ß !$

"ß !$
"

"ß "

"ß "
"

luego 637 0 ÐBÑ, no existe.
BÄ"

"

2.- Sea 0 ÐBÑ œ B  # . Complete el siguiente cuadro y utílice estos resultados para
estimar el valor de 637  0 ÐBÑ, si éste existe:
BÄ#

B
0 ÐBÑ
Solución:

B
0 ÐBÑ

#
Î
b

#
Î
b

#ß !!!!"
"!!Þ!!!

#ß !!!!"

#ß !!"
"Þ!!!

#ß !!"

#ß !"
"!!

#ß !"

#ß !%
#&

#ß !%

#ß "

#ß"
"!

luego 637  0 ÐBÑ œ  _Þ
BÄ#

>$  '%

3.- Sea 0 Ð>Ñ œ "'  ># . Complete el siguiente cuadro y utílice estos resultados para
estimar el valor de 637 0 Ð>Ñ, si éste existe:
>Ä%

Solución:

>
0 Ð>Ñ

 %ß "

>
0 Ð>Ñ

 %ß "
'ß !(&$

 %ß !"

 %ß !"
'ß !!(&

 %ß !!!"

%
Î
b

 %ß !!!"
'ß !!!"

luego 637 0 Ð>Ñ œ 'Þ
>Ä%

1

%
Î
b

 $Þ***

 $Þ***
&ß ***$

 $Þ**

 $Þ**
&ß **#&

 $Þ*

$Þ*
&ß *#&$

4.- Calcular, si existen, los siguientes límites :
%B  B#

ÈB  )

d) 637 È
$
B%
BÄ'%

c) 637 "'  >#
>Ä%

$B$  'B&  "&B  $%
%#B$
BÄ_
#B$  %B&  ")B  #%
g) 637
(  'B&
BÄ_
+ B
i) 637 Š"  B ‹
BÄ_

e) 637

(  &B  B$
#
$
BÄ_ "  #B  %B
-9=Ð&?Ñ "
h) 637
?#
?Ä!

f) 637

Solución: a)

>$  '%

%

 )"
b) 637 B* 
B#
BÄ$

a) 637 #B#  B$
BÄ#

%B  B#

637 #B#  B$
BÄ#%†Ð#Ñ  Ð#Ñ#
#†Ð#Ñ#  Ð#Ñ$
"#
"'
$
 %.

œ
œ
œ

B%  )"

b) 637 *  B#
BÄ$

>$  '%

c) 637 "'  >#
>Ä%

ÐB#  *ÑÐB#  *Ñ
*  B#
BÄ$

œ

637

œ

637  ÐB#  *Ñ

œ

 ").

œ
œ
œ

BÄ$

Ð>  %ÑÐ>#  %>  "'Ñ
Ð%  >ÑÐ%  >Ñ
>Ä%
Ð>#  %>  "'Ñ
637
Ð%  >Ñ
>Ä%

637

'.

d) Si B œ >' , entonces > Ä #. Luego:
ÈB  )

637 È
$
B%
BÄ'%

637 >#  %
>Ä#

œ

637

œ
œ
e)

>$  )

œ

Ð>  #ÑÐ>#  #>  %Ñ
Ð> #ÑÐ>  #Ñ
>Ä#
#
Ð>  #>  %Ñ
637
Ð>  #Ñ
>Ä#

$.

$B$  'B&  "&B  $%
%  #B$
BÄ_

637

Ð$B$  'B&  "&B  $%уB$
Ð%  #B$ уB$
BÄ_
$  'B#  B"&#  B$%$

œ

637

œ

637

BÄ_

637 $B#

œ

BÄ_

 _.

œ

2

%
B$

#

f)

(  &B  B$
#
$
BÄ_ "  #B  %B

637

Ð(  &B  B$ уB$
#
$
$
BÄ_ Ð"  #B  %B уB
(
&
 B#  "
B$

œ

637

œ

637

BÄ_

"

#B$  %B&  ")B#%
(  'B&
BÄ_

g) 637

œ
œ
œ
œ?Ä!

i)

-9=Ð&?Ñ "
?#

637 Š"  B ‹
BÄ_
+

B

B

637

œ

637 ŒŠ" 
BÄ_

BÄ$

œ
œ
œ



#&
# .

/+ .

637 Š"  B ‹
BÄ_
637 "B
!

œ

"

B
+

‹  à+Á!
B
+

+

B

BÄ_

637 "

BÄ_

œ
œ

Solución: 637 0 ÐBÑ

#

'

"  -9=Ð&?Ñ
?#

œ

œ

B#

%



?Ä!
Ð&Ñ#

(
B&

'
#
 $Þ

œ

œ

#B  &
5.- Sea 0 ÐBÑ œ  B#  %

637

BÄ_

 637

Si + œ !, entonces
+

Ð#B$  %B&  ")B#%уB&
Ð(  'B& уB&
BÄ_
#
 % B")%  B#%&
B#

637

œ

œ
637 Š"  B ‹
BÄ_

 B#  %

 %.

œ

h) 637

"
B$

"
/! .

=3 B   #
=3 B   #

. Calcule, si existe, 637 0 ÐBÑ.
BÄ$

B#  %

637 B  #
BÄ$
$#  %
$#

".
3

6.- Calcular, si existe: a) 637 0 ÐBÑ , donde 0 ÐBÑ œ 
Ú

BÄ#

#

B *
&%B
 ""#
b) 637 0 ÐBÑ, donde 0 ÐBÑ œ Û
"
BÄ$
Ü  B#

B#  %
%B  )
"
%  &B#

si B    $

si B  $

d) 637 0 ÐBÑ, donde 0 ÐBÑ œ Û '
BÄ"
Ü&B  ""

=3 B   "
=3 B œ  "
=3 B   "

si B   $

Ú #  %B#

#  $ È B#
e) 637 0 ÐBÑ, donde 0 ÐBÑ œ Û  "!
BÄ)
Ü &B  ""
f) 637 0 ÐBÑ, donde 0 ÐBÑ œ œ
BÄ#

Solución: a)

637  0 ÐBÑ
BÄ#

œ

$

=3 B   )
=3 B œ  )
=3 B   )

$B  "
$B#  &B  $

=3 B  #
=3 B  #

637  % "&B# y 637  0 ÐBÑ

œ

BÄ#

BÄ#



si B   #

si B   $

Ú *  B#
c) 637 0 ÐBÑ, donde 0 ÐBÑ œ Û &B  "&
"
BÄ$
Ü ( #B$

Ú

si B  #

"
"' .

#

B %
637  %B
)

œ

BÄ#

ÐB  #ÑÐB  #Ñ
%ÐB  #Ñ
#
637  B 
%
BÄ#

œ

637 
BÄ#

œ

".

œ
Luego 637  0 ÐBÑ Á 637  0 ÐBÑ y ¾ 637 0 ÐBÑ no existe.
BÄ#

BÄ#

b) 637  0 ÐBÑ
BÄ$

637

BÄ#

"

œ

 B#
BÄ$

œ

"
 *.

y

637  0 ÐBÑ

BÄ$

œ
œ
œ
œ

B#  *
BÄ$ &%B  ""#
Ð$Ñ#  *
&%Ð$Ñ  ""#
!
&!

637

!.

Luego 637  0 ÐBÑ Á 637  0 ÐBÑ y ¾ 637 0 ÐBÑ no...