671921257 AP Circuitos

Lógica – FCE




CIRCUITOS LÓGICOS







1. ALGEBRA DE BOOLE

1.1 Introducción

Tanto la teoría de conjuntos como la lógica de enunciados tienen propiedades similares. Tales propiedades se utilizan para definir una estructura matemática denominada álgebra de Boole, en honor al matemático George Boole (1813-1864).



1.2 Definición de álgebra de BooleSea B un conjunto en el cual se definen dos operaciones binarias, + y *, y una operación unitaria denotada ; sean 0 y 1 dos elementos diferentes de B. Entonces la
sextupla:

〈B, +, *, , 0, 1〉

se denomina álgebra de Boole si se cumplen los siguientes axiomas para cualesquiera elementos a, b, c del conjunto B:

[B1] Conmutatividad:
(1a) a + b = b + a(1b) a * b = b * a

[B2] Distributividad:
(2a) a + (b * c) = (a + b) * (a + c) (2b) a * (b + c) = (a * b) + (a * c)

[B3] Identidad:
(3a) a + 0 = a (3b) a * 1 = a

[B4] Complemento:
(4a) a + a = 1 (4b) a * a = 0



1.3Terminología y convenciones

 Las operaciones + y * se denominan suma y producto, respectivamente.

 La operación a se denomina complemento de a.

 El elemento 0 se denomina elemento cero (neutro respecto de la suma).


 El elemento 1 se denomina elemento unidad (neutro respecto del producto).

 Por convención, omitimos el símbolo *, usándose en su lugar la yuxtaposición; de estemodo, (2a) y (2b) se escriben:

(2a) a + bc = (a + b) (a + c) (2b) a (b + c) = ab + ac

 Por convención, establecemos que + es más fuerte que * y * es más fuerte que ; por ejemplo:
a + b * c significa a + (b * c) y no (a + b) * c a * b significa a * ( b ) y no (a * b)



1.4 Dualidad

En un álgebra de Boole B, el dual decualquier enunciado es el enunciado obtenido de intercambiar las operaciones + y *, e intercambiar los elementos neutros 0 y 1 en el enunciado original. Por ejemplo:

el dual de (1 + a) * (b + 0) = b es (0 * a) + (b * 1) = b

Con esta definición de dualidad puede observarse que, en la definición de álgebra de Boole, los axiomas del grupo (1) son duales de los axiomas delgrupo (2) y viceversa. En otras palabras, el dual de cualquier axioma de B también es un axioma. En consecuencia, se cumple el siguiente teorema:

Teorema 1.1 (Principio de dualidad): En un álgebra de Boole, el dual de cualquier teorema es también un teorema.

Esto significa que, si cualquier teorema es una consecuencia de los axiomas de un álgebra de Boole, entonces el dual tambiénes una consecuencia de estos axiomas ya que se puede probar usando el dual en cada paso de la demostración original.



1.5 Teoremas básicos

Utilizando los axiomas de la definición de un álgebra de Boole, pueden demostrarse los siguientes teoremas:

Teorema 1.2: Sean a, b, c elementos cualesquiera de un álgebra de Boole B, se cumple: (i) Idempotencia:
(5a) a + a = a(5b) a * a = a

(ii) Acotamiento:
(6a) a + 1 = 1 (6b) a * 0 = 0

(iii) Absorción:
(7a) a + (a * b) = a (7b) a * (a + b) = a


(iv) Asociatividad:
(8a) (a + b) + c = a + (b + c) (8b) (a * b) * c = a * (b * c)Teorema 1.3: Sea a un elemento cualquiera de un álgebra de Boole B, se cumple:

(i) Unicidad del complemento:

(ii) Si a + x = 1 y a * x = 0, entonces

Involución: x = a
a = a (iii) (9a) 0 = 1 (9b) 1 = 0

Teorema 1.4: Leyes de De Morgan

(10a)
a  b  a * b
(10b)
a * b  a  b


Es importante insistir que el...