697275967 Unidad_1



UNIDAD Nº 1: DERIVACION E INTEGRACIÓN.
APLICACIONES


La derivada
Vamos a recordar esta noción que se empezó a estudiar en Matemática de primer año.

Definición

Sean f una función real , x un punto interior de su dominio y h distinto de cero tal que x + h
pertenece al dominio de f, la derivada de f en x es

f ' ( x)
lim f ( x h) f ( x)

siempre que este límite exista.
h 0h
h denota el cambio o variación de la variable x (si es positivo representará el incremento de x).
f ( x h)
f ( x) denota la variación de f cuando h es el cambio de x y se suele
indicar en la forma
f ( x, h)
Otra forma alternativa de la definición de derivada en un punto a es


f ' a
lim f ( x) f (a)
x a x a
El número
f ' (a) se interpreta como la pendientede la recta tangente a la gráfica de
f en el punto (a, f (a)) .


Aplicaciones al comercio y a la economía.


Análisis marginal en Economía

Cuando se usan las derivadas en economía para calcular tasas de cambio de unas magnitudes respecto de otras, el procedimiento se llama análisis marginal.
El costo marginal: es la tasa de variación del costo C de producción, con respecto alnúmero x de unidades producidas.
El ingreso marginal: es la tasa de variación del ingreso R, con respecto al número x de unidades producidas.
En Cálculo existe la siguiente relación:
f ( x, h)
f ( x h)
f ( x)
f ' ( x) x
cuando x
0 . (1)
Utilizaremos esta relación en el caso de funciones de costo y de ingreso.
En economía interesa a menudo saber la variación del costo o del ingreso que seorigina por un cambio unitario en la producción. Es decir, si x = 1, entonces la variación del costo debida a un cambio unitario en x es:
C = C(x + x) – C (x) = C (x + 1) – C(x)
y la variación del ingreso debida a un cambio unitario en x es



R = R(x + x) – R (x) = R (x + 1) – R(x)
En la práctica se aproximan estas funciones usando el costo y el ingreso marginal, respectivamente.Por la relación consignada en (1), se tienen las siguientes aproximaciones:
C C ( x 1)
R R( x 1)
C ( x)
R( x)
C ' ( x)
R ' ( x)

O sea que C ' ( x) aproxima el costo de producir la unidad (x + 1)-ésima.
El ingreso marginal
R ' ( x) aproxima el ingreso de vender la unidad (x + 1)-ésima.
Desde el punto de vista económico, C , permite conocer con exactitud el costo deproducir la unidad (x + 1)-ésima. De la misma manera, R , da el ingreso exacto obtenido al vender la unidad (x + 1)-ésima. La ventaja de emplear C ' ( x) , R ' ( x) , es principalmente
porque el cálculo es más sencillo que el que se tiene que hacer con C y R , respectivamente, como veremos en un ejercicio posterior.

Resumen de fórmulas y términos comerciales

Términosbásicos
Interpretación
Fórmulas básicas
x
Es el número de unidades producidas o
vendidas

p p( x)
Es la función demanda. Es el precio por unidad.

R R( x)
Es la función ingreso. Es el ingreso producido
al vender por unidades.
R( x) xp( x)
C C ( x)
Es la función de costo. Es el costo de
producción de x unidades.


C C ( x )
Es la función de costo medio por unidad.
C ( x)
C ( x)
x
PP( x)
Es la función beneficio por la venta de x
unidades.
P( x) R( x) C ( x)
El punto de beneficio nulo es el número de unidades para el cual
R( x)
C ( x)
En la siguiente tabla presentamos las derivadas de funciones vinculadas al cuadro anterior y su interpretación:
Marginales
Interpretación
R ' ( x) dR
dx

Es el ingreso marginal. Aproxima el ingreso al
vender una unidad adicional.
C '( x ) dC
dx

Es el costo marginal. Aproxima el costo de
producir una unidad adicional.
P ' ( x) dP
dx

Es el beneficio marginal. Aproxima el beneficio al
vender una unidad adicional.


Ejemplo:
Un fabricante estima que, al producir x unidades de un bien de consumo, el costo total será de C(x) = 1/8 x2 + 3x + 98 (miles de pesos), y que se venden todas las unidades si el precio...