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´ noma Metropolitana
Universidad Auto
Unidad Azcapotzalco
Divisi´on de Ciencias B´asicas e Ingenier´ıa
Problemario de C´alculo Diferencial

C´
alculo Diferencial

Departamento de Matem´
aticas:
Marina Salazar Ant´
unez
Jos´
e Ventura Becerril Espinosa
Judith Oma˜
na Pulido
Cutberto Salvador Romero Mel´
endez

ii

´Indice general
1. LA
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.

DERIVADA
Reglas dederivaci´on . . . . . . . . . . . .
Razones de cambio . . . . . . . . . . . . .
Derivadas de las funciones trigonom´etricas
Derivadas de orden superior . . . . . . . .
Derivaci´on impl´ıcita . . . . . . . . . . . . .
Miscel´anea de ejercicios . . . . . . . . . . .

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4
5
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2. APLICACIONES DE LA DERIVADA
2.1. Razones de cambio relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. M´aximos y m´ınimos locales de una funci´on . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Intervalos de monoton´ıa de una funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Criterio de la primera derivada para encontrar los m´aximos ym´ınimos
locales de una funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Funciones c´oncavas hacia arriba, c´oncavas hacia abajo y puntos de
inflexi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Intervalos de c´oncavidad de una funci´on . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Criterio de la segunda derivada para determinar los m´aximos y m´ınimos
localesde una funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8. Gr´aficas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9. Problemas de optimizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10. M´ıscelanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11
11
14
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3. FUNCIONES TRACENDENTES
3.1. Funci´on inversa . . . . . . . . . . . .. . . . . .
3.2. La funci´on logaritmo natural . . . . . . . . . . .
3.3. Funciones exponenciales y logar´ıtmicas generales
3.4. Funciones trigonom´etricas inversas . . . . . . .
3.5. La regla de L’ H´opital . . . . . . . . . . . . . .

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4. TEOREMA DE TAYLOR
4.1. Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Polinomios de Taylor . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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iv

´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 1
LA DERIVADA

1.1.

Reglas de derivaci´
on

1. Calcule las derivadas de f , respecto a la variable correspondiente:
a) f (x) = x12
b) f (x) = x−12
4

c) f (x)= x 3
d ) f (x) =
e) f (x) =

1
x4

√
4

x
1

3

f ) f (x) = 4x 2 − 5x 2

g) f (x) = 6x3 + 4x2 − 2x
h) f (t) = 3t2 +
i ) f (x) =
j ) f (θ) =

12
√
t

−

1
t2

x2 +1
x
θ−1
√
θ

k ) f (t) = (t3 + 5t2 + t)(t2 − 7t + 2)
l ) f (x) =

√ 9x
3x2 −1

2. Encuentre la derivada de
a) f (x) = (x − 1)99
√
b) f (x) = 1 + x2
√
c) f (t) = ( t + 1)100
d ) k(x) =
e) h(x) =

5
(x2 +1)2
√
2
3 3+x
√
2+4 4

1CAP´ITULO 1. LA DERIVADA

2
√
3
f ) h(t) = (12t3 − 4t)( t2 + 5t)
g) f (s) =

4
√
3 2
s

− 3s5 + 2s

h) f (t) = (t2 + 3t)(1 − 2t)9
i ) f (x) =

1+x
2+3x+4x2

j ) f (x) =

3x2
5x2 +7x

k ) f (x) = (x5 + 1)12 (x2 + 3)6
l ) f (x) =
m) g(x) =
n) h(x) =

x2 +x
1
(x2 +x+1) 2

8x−1
(2x+3)2
3

1−3x2
x

3. Deriva la funci´on f (x) = (x − 1)12 (1 − 6x)2/3

1.2.

Razones de cambio

1. Una pelota es arrojada desde unpuente. La altura h a la que se encuentra la
pelota encima del piso t segundos despu´es de que es arrojada, est´a dada por:
h(t) = −16t2 + 50t + 36
a) ¿Cu´al es la altura del puente?
b) ¿Cu´al es la velocidad promedio de la pelota para el primer segundo?
c) Grafica la funci´on h y determina la altura m´axima que la pelota alcanzar´a.
¿Cu´al debera ser la velocidad de la pelota cuando est´a en...