7Fuerzas En El Espacio 1

VI. FUERZAS EN EL ESPACIO
Hasta ahora hemos venido estudiando sistemas de fuerzas cuyas
líneas de acción están contenidas en un plano. Ahora comenzaremos el
estudio de los sistemas en tres dimensiones. Prácticamente no habrá ninguna nueva teoría que añadir, pues simplemente tendremos que trabajar
con una componente más de todas las fuerzas. Sin embargo, eso complicará las representacionesgráficas, la determinación de las direcciones de
las fuerzas y, sobre todo, lo relativo a los momentos de las fuerzas: ahora
tendremos que retomar el hecho de que los momentos de las fuerzas son
tendencias a hacer girar los cuerpos respecto a ejes, no a puntos.
Nos resultará muy útil ahora utilizar vectores para representar tanto las fuerzas como sus momentos.

Vectores
F

Un vector es un segmentodirigido de recta.
Sus características son 1) magnitud, tamaϴ
ño, módulo o norma, y 2) dirección.
Para utilizarlos como elementos matemáticos definiremos varias
operaciones y estableceremos un álgebra completa. Las propiedades de
los vectores, de sus operaciones y de su álgebra, tendrán que ser conformes a las propiedades del las fuerzas, de su composición y resolución, de
la obtención de momentos, etc.Una limitante de los vectores es que necesitan otro que defina su posición (1).

Fuerzas en el espacio

Suma de vectores
La suma de dos vectores que parten de un punto es otro vector que se encuentra en la diagonal del paralelogramo
formado con esos dos vectores, y parte
también de ese punto.
Como se ve, sumar vectores,
equivale a obtener la resultante de un sistema de fuerzas concurrentes.Componente de un vector
es
otro vector que al sumarse con uno o
varios más, tienen por suma el vector .
Son componentes cartesianos de un vector aquellos que tienen la dirección de
los ejes cartesianos. Es decir:

F2

A

R

F1

z
Fz

F
Fy

y

Fx

x

Producto de un escalar por un vector
Un escalar es una cantidad que queda completamente definida por
una sola característica. En Física son escalares latemperatura, la longitud,
el tiempo, la masa, etc. En cambio, son vectores las cantidades que tienen
magnitud y dirección, como la fuerza, la velocidad, la aceleración, y otras
muchas.
En nuestra álgebra un escalar es un número real.
Al multiplicar un escalar por un número real obtenemos un nuevo
vector en la misma dirección que el original. Pero con una magnitud diferente o sentido distinto.

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Vectores unitarios
Si tenemos un vector unitario e en cierta dirección, los vectores
2e, 5e. –3e son paralelos al primero.
Los vectores i, j y k son vectores unitarios en las direcciones de
los ejes equis, ye y zeta, respectivamente. De modo que
;

;

Y, por fin, un vector queda unívocamente expresado de la siguiente manera

que se llama forma polinómica (dada su semejanzacon un polinomio algebraico) o normal (puesto que sus tres componentes son normales
perpendiculares entre sí).

Cosenos directores
Conocida la forma polinómica de un vector, se puede conocer el
ángulo que forma con cada uno de los ejes coordenados. Como Fx y F
son, respectivamente el cateto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo
entonces
z
Fz

F

α

Fy

y

Fx

x

que son los cosenos directoresdel vector, y α,
con cada uno de los ejes cartesianos.

y γ los ángulos que forma

Un vector unitario cualquiera en forma polinómica sería
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Fuerzas en el espacio

por tanto, dado que la magnitud de un vector es

entonces

que viene a ser una ley de dependencia de los tres ángulos que una recta
forma con los ejes coordenados.

Vector apoyado en dos puntos
Supongamos que la línea de acción deuna fuerza de magnitud F
pasa por los puntos A (x1, y1, z1) y B (x2, y2, z2).
Para hallar un vector que represente tal fuerza tendríamos que
multiplicar la magnitud de la fuerza por un vector unitario en la dirección
AB. Es decir

Pero

y su magnitud es

o sea que

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Fuerzas en el espacio

Ejemplo. La tensión en el cable
AB es de 390 kg. Diga qué vector representa la tensión que el cable...