8 Pitagoras 1

SIGMA
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EL TEOREMA LLAMADO DE PITÁGORAS.
UNA HISTORIA GEOMÉTRICA DE 4.000 AÑOS
Pedro Miguel González Urbaneja (*)
"La universalidad del Teorema de Pitágoras y la invención de la demostración geométrica
son las hadas que vemos en torno a la cuna de la Geometría griega y del milagro griego
en Matemáticas".
A. REY. El apogeo de la ciencia técnica griega (UTEHA, México, 1962. Vol.1. p.13).
"Esteteorema con la multitud de demostraciones del mismo ilustra de forma sorprendente
el hecho de que hay muchas formas de alcanzar la misma verdad".
E.S. LOOMIS. The Pythagorean Proposition. (NCTM, 1968. p.3).
"El Teorema de Pitágoras es un activo cultural de primer orden que pertenece a la
base intelectual común de la humanidad. [...] Es con razón un símbolo de todas las
Matemáticas".
B. ARTMANN.Euclid–The Creation of Mathematics. (Springer. New York, 1996. p.57).
"El Teorema de Pitágoras ha tenido ocupados a los matemáticos desde la época clásica
hasta el presente"∫.
W. DUNHAM. El Universo de las Matemáticas. (Pirámide, 1995. Cap.H. p.136).

1. EL TEOREMA LLAMADO DE PITÁGORAS
El Teorema de Pitágoras es la relación matemática que ocupa el primer lugar en el recuerdo
de los tiemposescolares. Es, sin duda alguna, la más importante, conocida, útil y popular en
casi todas las civilizaciones; la que más nombres, atención, curiosidad y pruebas ha recibido
a lo largo de los siglos. Es un teorema que ha causado una gran admiración a todo tipo de
personas –matemáticos y no matemáticos–, pero también una gran extrañeza y perplejidad a
otras –Leonardo, Hobbes, Schopenhauer, Einstein, …–porque, a diferencia de otros teoremas,
aparentemente no existe ninguna razón intuitiva para que los cuadrados construidos sobre
los lados de un triángulo rectángulo –la hipotenusa y los catetos– deban tener un vínculo tan
estrecho entre sí.
La verosimilitud del Teorema de Pitágoras no depende de un
dibujo bien ilustrado sino que obedece por completo a un ejercicio intelectual puro alejado de losensorial –la deducción lógica–
Por eso, para muchos historiadores de la ciencia, el Teorema
de Pitágoras tiene un valor simbólico iniciático como elemento
cultural responsable de la aparición de la Geometría racional
en la Escuela Pitagórica y por tanto forma parte ineludible de la
semilla básica de la propia naturaleza de la Matemática desde su
origen como ciencia especulativa y deductiva en losalbores de
la civilización helénica.

(*) Catedrático de Matemáticas del IES Sant Josep de Calassanç. Barcelona.

Noviembre 2008 • 2008ko Azaroa

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Pedro Miguel González Urbaneja

La emergencia de este teorema en el horizonte histórico cultural, pero también en el horizonte escolar, señala el primer salto intelectual entre los confines de la especulación empírica
e inductiva y los dominiosdel razonamiento deductivo. En efecto, el Teorema de Pitágoras
pudo estar en el origen de la demostración –que caracteriza a la Matemática con respecto a
las demás ciencias– ya que la prueba pitagórica del Teorema de Pitágoras tal vez haya sido
la primera demostración verdaderamente matemática de la Historia. Y también el Teorema
de Pitágoras está situado en el umbral que inicia la prácticadeductiva en el desarrollo de la
Matemática escolar elemental.
El Teorema de Pitágoras aparece por doquier en la Matemática. Es la base de multitud de teoremas geométricos, de los estudios sobre polígonos y poliedros, de la Geometría Analítica y de
la Trigonometría –la fórmula cos2a + sen2a = 1 es un caso particular del Teorema de Pitágoras
y el Teorema del coseno es una generalización del mismo–. Larelación pitagórica x2 + y2 = z2
es la ecuación de la circunferencia y la raíz histórica del Análisis indeterminado de Diofanto
y Fermat. El Teorema de Pitágoras también pudo ser el germen de la dramática aparición pitagórica de la inconmensurabilidad de gran trascendencia en la estructuración y sistematización
platónico-euclídea de la Geometría griega.
Pasaremos revista a los saberes geométricos...