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Complemento
matemático
Introducción a la Mecánica

Nelson Zamorano Hole

Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Universidad de Chile

VIII

Cap´ıtulo I

COMPLEMENTO
MATEMATICO
I.1.

INTRODUCCION

La F´ısica intenta conocer las leyes que rigen el comportamiento de la naturaleza. Con
este objeto propone y analiza diversos modelos matem´aticos simplificados que simulan
situaciones que ocurren anuestro alrededor. El prop´osito de esta b´
usqueda es encontrar
un modelo matem´atico que, con un m´ınimo de suposiciones, nos permita entender un
gran n´
umero de hechos experimentales.
Un ejemplo en esta direcci´on lo constituyen las leyes de Newton –incluyendo su ley de
gravitaci´on universal–, introducidas en 1687. Con este conjunto de ecuaciones, Newton
logr´o explicar en forma simult´aneafen´omenos aparentemente desconectados entre s´ı,
como el movimiento de los planetas en la esfera celeste o la ca´ıda de una manzana en la
tierra.
Con las leyes de Newton, los fen´omenos celestes y aquellos que ocurren a nuestro
alrededor quedan descritos con una sola ley f´ısica, cuya validez es1 universal. Este es el
objetivo de la f´ısica.
Por otra parte, los modelos simples que uno puedeanalizar en detalle y entender,
no abarcan todos los fen´omenos que uno observa. El mundo real es muy complejo. Es
preciso adoptar una estrategia para entender esta multitud de hechos. Esta consiste en
seleccionar los m´as relevantes, aquellos en los cuales hay una caracter´ıstica que lo destaca
del resto y proceder a estudiarlo. Dependiendo de las preferencias del investigador, se
recurre alLaboratorio, a una simulaci´on en el computador o a un estudio te´orico.
Si nos ubicamos en el Laboratorio, los experimentos se organizan y dise˜
nan de modo
1

A partir de 1914 se conoce otra teor´ıa, la Relatividad General, que explica observaciones que no
est´
an contenidas en el esquema desarrollado por Newton.

1

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CAP´ITULO I. COMPLEMENTO MATEMATICO

que el fen´omeno que uno desea investigar sedestaque n´ıtidamente con respecto a cualquier otro. Una vez logrado esto, podemos estudiar su respuesta a la variaci´on de un
par´ametro externo, como la temperatura, un campo magn´etico, la presi´on... etc. Eventualmente (no siempre), con estos datos uno puede desarrollar una teor´ıa que explique
este fen´omeno y que, en el caso ideal, permita, a partir de ella, predecir otros resultados
–a´
undesconocidos– que puedan ser verificados a trav´es de este experimento. Este u
´ltimo
paso constituye la prueba de fuego de cualquier teor´ıa. Si sus predicciones no coinciden
con los resultados experimentales esperados, simplemente debemos reformular la teor´ıa,
por convincente que ´esta parezca.
Como una forma de ilustrar, con un par de casos, cu´ando una cierta caracter´ıstica es m´as importanteque otra en una situaci´on concreta, incluimos dos ejemplos a
continuaci´on.
Si nosotros pudi´eramos escribir aqu´ı las ecuaciones que gobiernan la propulsi´on de
una bacteria en su medio, junto con aqu´ellas que gobiernan el movimiento de los planetas
en el espacio, ver´ıamos que lucen muy diferentes. Sin embargo, sabemos que las mismas
leyes gobiernan ambas situaciones. Lo que sucede, es que lasaproximaciones hechas
al plantear cada uno de estos casos son distintas. En la propulsi´on de las bacterias, la
viscosidad del medio en que se mueven es fundamental, de hecho es lo m´as importante,
m´as relevante incluso que la masa de la bacteria misma; en cambio para determinar
la trayectoria de un planeta lo crucial es la posici´on relativa del Sol y del resto de los
planetas. En este caso laviscosidad es despreciable.
Otro ejemplo, que estaremos en condiciones de calcular durante este curso, es la ca´ıda
de una bolita de acero desde un metro de altura (por fijar una distancia). En este caso la
viscosidad del aire es irrelevante (su efecto es muy peque˜
no). En cambio, si es lanzada
desde una altura de 2.000 m, la viscosidad del aire determinar´a la m´axima velocidad que
la bolita...