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TRILCE

Capítulo

8
RADICACIÓN

RADICACIÓN

*

División.
n

Es la operación que tiene como objetivo calcular una
expresión llamada raíz, tal que elevada al índice resulte otra
expresión llamada radicando o cantidad subradical.

a

n

a
n
b
b

Radicales Semejantes

Veamos :
n

Si :

bn  A

A b

En donde :
n

A

radical

A

radicando o cantidad subradical

b

raíz

n

índice
signo de radicalValor Aritmético de un radical

Son aquellos que tienen índices y radicandos iguales.
Estos radicales son los únicos en los que se puede efectuar
la adición o sustracción.
Ejemplos :

*

14
xy ; a 4 xy  radicales semejantes.
2

5 4 xy ;

3 2  7 2  10 2

Adición :

Sustracción : 11 3 4  8 3 4  3 3 4

Es aquel valor real, positivo y único, que elevado al
índice, reproduce al radicando.Transformación de radicales dobles en simples

Observación :

I.

Cuando se tiene n A implícitamente nos están
pidiendo el valor aritmético.

Radicales de la forma :
Primer Método :
A B 

Debemos tener en cuenta la definición :

x2  | x |

Radicales Homogéneos
Son aquellos que tienen índices iguales. Es
importante tener en cuenta que las operaciones de
multiplicación y división, sólo se pueden efectuarentre
radicales homogéneos.
Ejemplo :
*

Ac
2

c  A2  B  debe ser racional
(

exacta)

Ejemplo : Descomponer :
*

5  24
calculemos "c" ; donde : A = 5; B = 24.

c  5 2  24  1

xy ;

5

5

a;

zw

2

5 2 




*

Ac

2

Donde :

Son radicales homogéneos.
5

A B

5 1

2

5 1
2

3 2

Multiplicación.
n

a

n

b

n

c 

n

abc

79

Álgebra
Segundo Método

Reemplazando en () :

Seforma trinomio cuadrado perfecto, recordemos que:

3

10  108  1  3

( a  b )2  a  b  2 ab

Observación :

Veamos :

El mismo método se utiliza para la forma :
3

A B
reemplazando en todas las ecuaciones :

A  B  a  b  2 ab  ( a  b )2  a  b (a  b)
1

A por "A" y

2

x por "x".

Ejemplo :

RACIONALIZACIÓN

*

Es el proceso que consiste en transformar el
denominador irracional deuna fracción; en otro que sea
racional.

8  60  5  3  2 5  3  5  3
1
2

Factor racionalizante (F.R.)
II.

Radicales de la forma :
3

3

A B

+
A  B  x  y (x  Q; y  Q ).

Los valores de "x" e "y" y se obtienen resolviendo las
siguientes ecuaciones :

4 x 3  A  3Cx ...... (1)

A 2  B  racional ( 3

Para racionalizar una fracción bastará con multiplicar
sus términos por el factorracionalizante del denominador.

I.

Donde :
3

Propiedad

Casos de Racionalización

x 2  y  C ...... (2)

C

Es aquella expresión irracional que, al multiplicarla,
por una cierta expresión irracional dada la transforma en
racional.

exacta) .

Sugerencia : como "x" es racional entero, es
recomendable "tantear" con valores enteros de "x", en
la ecuación (1).

Racionalización de ExpresionesMonomiales
En este caso, el factor racionalizante es homogéneo
con la expresión para racionalizar, debe cumplirse que
luego de la multiplicación los exponentes del radicando
deben ser iguales al índice o al menor de sus múltiplos.
Ejemplo :
Racionalizar el denominador de :

N
Ejemplo :
Transformar :

7

3

10  108

tendremos :
3

x 4 y12

tendremos :

10  108  x  y ....... ()

como : A = 10; B = 108,entonces :
3

C  102  108  2

7

N
7

.

4

x y

12

7

x3 y2
3

x y

F. R.

2

Luego en (1) :

4 x 3  10  3 (2)x

4+3

igual al índice

3

4 x  10  6x  se verifica para : x = 1

12 + 2 = 14 (menor múltiplo de 7)

Ahora en (2) :

x 2  y  2  12  y  2  y  3

80

N . (F.R.)
7

7 14

x y



N . (F .R.)
xy 2

 deno min ador

racional

II.

Racionalización de Suma o Resta deRadicales
con índice 2 o sus potencias
En este caso, el factor racionalizante se obtiene
utilizando la diferencia de cuadrados.

IV. Racionalización de Radicales de la forma
n

a n b

En este caso, el factor racionalizante se obtiene
utilizando cocientes notables, de la siguiente manera :

Recordemos :
( A  B )( A  B )  A  B

*

n

n

n

n

n

( a  b )( a n 1  an  2b  a n 3b2  ...
n

... ...