84_teoria progresiones

Progresiones

Antes de empezar

?

Para empezar, te propongo un juego sencillo, se trata de averiguar la
ficha de dominó que falta en cada caso.

MATEMÁTICAS 3º ESO „

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Progresiones
1. Sucesiones
Definición.
Una sucesión es un conjunto ordenado de números
reales:
a1, a2, a3, a4, a5, a6, ...
Cada elemento de la sucesión se llama término de la
sucesión. Para designarlos se emplean subíndices.Los términos de las sucesiones se pueden determinar
a partir de cierto criterio, este criterio se denomina
regla de formación.

Término general
El término general de una sucesión es el que ocupa
un lugar cualquiera, n, de la misma, se escribe an

•

•

Hay sucesiones cuyo término general es una
expresión algebraica, que nos permite saber
cualquier término de la sucesión sabiendo el lugar
que ocupa,n.
En otras, cada término se obtiene a partir de los
anteriores, se dice que están dadas en forma
recurrente. Una relación de recurrencia es una
expresión algebraica, que expresa el término n en
función de los anteriores.

4, 7, 10, 13,…
Primer término: a1=4
Segundo término: a2=7
Tercer término: a3=10
Cuarto término: a4=13
Cada término se obtiene
anterior sumándole 3.

del

a2 = a1 + 3 = 4 + 3 =7
a3 = a2 + 3 = 7 + 3 = 10
a4 = a3 + 3 = 10 + 3 = 13

4, 8, 12, 16,…
Cada
término
se
obtiene
multiplicando el lugar que ocupa
por 4
a1 = 1·4 = 4
a3 = 3·4 = 12

a2 = 2·4 = 8
a4 = 4·4 = 16

EJERCICIOS resueltos
1.

El primer término de una sucesión es 4, escribe los cuatro primeros términos de
ella si: “Cada término es igual al anterior más el lugar que ocupa”:
Sol: a1 = 4 a2 = 4 + 2 = 6 a3 = 6 + 3= 9 a4 = 9 + 4 = 13

2.

Escribe la regla de formación de la siguiente sucesión: 3, 8, 13, 18 ,...
Sol: “Cada término es igual al anterior más 5”

3.

Escribe los cinco primeros términos de la sucesión formada por los cuadrados de
los números naturales
Sol: a1 = 1 a2 = 23 = 8 a3 = 23 = 8 a4 = 24 = 16 a5 = 25 = 32

4.

Calcula los 4 primeros términos de la sucesión de término general: an =
Sol: a1=

5.

n
n+1

1
1
2
2
3
3
4
4
a2 =
a3 =
a4 =
=
=
=
=
1+1 2
1+2 3
1+3 4
1+ 4 5

Escribe los 5 primeros términos de una sucesión cuya regla de formación es: “Cada
a1 = 3 y
a2 = 7
término es la suma de los dos anteriores”
Sol: a1 = 3 a2 = 7 a3 = 3 + 7 = 10 a4 = 7 + 10 = 17 a5 = 10 + 17 = 27

6.

Escribe el término general de estas sucesiones:
a) 2,3, 4,5, 6,....

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„ MATEMÁTICAS 3º ESO

Sol: an = 1+ n

b) 2, 4, 8,16,32,....

Sol: an = 2n

Progresiones
2. Progresiones Aritméticas
Definición
2, 5, 8, 10, ... → d = 2 > 0
Creciente
7, 5, 3, 1, ... → d = −2 < 0
Decreciente
Para obtener la diferencia basta
restar dos términos consecutivos.

Una progresión aritmética es una sucesión en que
cada término (menos el primero) se obtiene sumando
al anterior una cantidad fija d, llamada diferencia dela progresión.

•

Si d>0 los números cada vez son mayores, se
dice que la progresión es creciente.

•

Si d<0 los números cada vez son menores, se
dice que la progresión es decreciente

Término general
3, 5, 7, 9, 11, …
a1=3

d=2

an = 3 + (n-1)·2
Así por ejemplo:
a10= 3 + 9·2 =21
a100= 3 + 99·2 =201

En una progresión aritmética cada término es igual al
anterior más la diferencia. Observa:
a2 =a3 =
a4 =
a5 =

a1 +
a2 +
a3 +
a4 +

d
d = a1 + 2·d
d = a1 + 2·d + d = a1 + 3·d
d = a1 + 3·d + d = a1 + 4·d

y siguiendo así sucesivamente, se llega a:
an = a1 + (n-1)·d
El término general de una progresión aritmética
es:
an = a1 + (n-1)·d
donde a1 es el primer término y d la diferencia.

Suma de n términos
En una progresión aritmética finita de n términos, la
suma de términos equidistantes de losextremos es
igual a la suma de ellos:

2, 4, 6, 8, 10, 12
2+12=14
4+10=14
6+8=14

a1+an = a2+an-1= a3+an-2 = …
A partir de esta propiedad se obtiene que la suma
Sn= a1+a2+.......+an de los n primeros términos de
una progresión aritmética es:

S=
S=

a1 + an
2 + 12
·n =
·6 = 42
2
2

a1 + an
·n
2

MATEMÁTICAS 3º ESO „

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Progresiones
EJERCICIOS resueltos
7.

8.

9.

Determina la diferencia de...