9 Mecanica Estadistica

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Física

Mecánica Estadística
(base teórica)
•  Explicación de la Termodinámica a nivel microscópico, basada en
las leyes de la Mecánica (cuántica).
•  Aplicación a:
–  Radiación de Cuerpo Negro
–  Electrones en un sólido

Claudio Dib

Sistemas Termodinámicos
Sistemas a estudiar: sistemas con muchos grados de libertad a nivel microscópico(ej. materiales, gases, etc).
Nivel macroscópico: pocas variables (variables termodinámicas,
ej. presión, volumen, temperatura) definen
la configuración macroscòpica.
Nivel microscópico: gran número de variables o grados de libertad,
definen el Estado microscópico del sistema:
Cómo está cada grado de libertad.
Cómo describir el estado microscópico:
- especificar el valor de cada grado de libertad.Sistemas Termodinámicos
Dos formas de especificar el estado:
a)  Especificar el orbital (valor) para cada grado de libertad (o partícula):
Partícula 1: en orbital p1
Partícula 2: en orbital p2
Partícula 3: en orbital p1
…etc.
ESTO ES FACIL DE ENTENDER, PERO DE POCA UTILIDAD..

b) Especificar los números de ocupación:
En orbital p1 : np1 partículas
En orbital p2 : np2 partículas
En orbital p3 :np3 partículas
…etc.
ESTA FORMA ES MAS UTIL.

Dos sistemas en contacto
•  Suponemos dos sistemas que intercambian energía:
•  En cada sistema: Configuración (macroscópica) à Energía dada.
Una configuración ßà muchos estados microscópicos
(energía E)
Número de estados: R(E) (muy grande)
Sistema 1 con energía E1 à R1(E1)
Sistema 2 con energía E2 à R2(E2)
Cuántos estados hay en total en esaconfiguración:
Rtot = R1(E1) R2(E2)

E

Dos sistemas en contacto
Rtot = R1(E1) R2(E2)
•  Sistema total aislado: Energía total fija: E = E1 + E2
•  Suponemos que todos los estados con E fija son equiprobables.
•  Cuál es la configuración E1, E2 más probable (maximo Rtot):
∂Rtot
∂E1

=0 → 0=

∂R1(E1 )
∂E1

0 = −R1(E1 )

R2 (E 2 ) + R1(E1 )

∂R2 (E 2 )
∂E 2

∂ ln R1
∂E1
DEF: Temperatura:

=

+

∂R1(E1)
∂E1

∂R2 (E 2 ) dE 2
∂E 2

dE1

(−1)

R2 (E 2 )
E

∂ ln R2
∂E 2

∂ ln R(E)
1
≡
∂E
kT

⇒

1
1
=
kT1
kT2

Dos sistemas en contacto
•  Si hay intercambio de partículas, similarmente:
con N = N1 + N2 fijo,
el número de estados en la config. N1, N2 es:
Rtot = R1(N1) R2(N2)
La config. más probable está dada por
DEF: potencial químico:

∂ln R(N )
µ
≡−
∂N
kT

∂ ln R1
∂ ln R2
=
∂N1
∂N 2
⇒ µ1 = µ2

E
NEquilibrio Termodinámico
HIPOTESIS ESTADISTICA:
El sistema está permanentemente fluctuando entre estados (microscópicos),
pero a nivel macroscópico, sólo se notan algunas pocas cantidades
(presión, volumen, etc).
Evolución hacia el equilibrio: configuración evoluciona hacia la más probable.
En equilibrio termodinámico: el sistema deja de cambiar a nivel macroscópico:
se estaciona en laconfiguración más probable.
En equilibrio, la Temperatura es igual en todas partes del sistema.

T1 > T2
E

Distribución de Boltzmann
• 

En un sistema aislado en equilibrio, todos los estados (microscópicos) son
equiprobables.

• 

En un sistema en equilibrio a temperatura T (no aislado, sino en contacto con otro
sistema mucho más grande, a temperatura T)
la probabilidad de encontrar al sistema
en un ciertoestado s:

P(s) = C e

−

Es

kT

(Probabilidad. depende sólo de la Energía de ese estado).
Dem.: Suponga un sistema pequeño, en contacto con uno grande (un “depósito”) a
temperatura T:
Suponga el sistema pequeño en un estado s, con energía
Es. Cuántos estados hay, en total,
en esa configuración?

Rtot = 1 ⋅ Rd (E − Es )
Además, Rtot ~ probabilidad de estado s.

T

…Boltzmann
P(s)  Rd (E − Es )= e ln Rd (E −Es ) e
=C e
• 
• 

−

Es

∂ ln Rd
∂E

Genial, no?

kT

Si además de energía, se intercambian partículas, es similar:
La probabilidad de un estado del sistema en equilibrio, a temperatura y
potencial químico dados:
E −µ N

P(s) =C e
• 

ln Rd (E )−Es

−

s

s

kT

donde Es y Ns son la energía y número de partículas del sistema en el
estado s.

Gases
• 

En un gas, cuál es el...