9 Series De Fourier

Series de Fourier

"Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones",
Genaro González

1

La primera serie de Fourier de la historia
Euler 1744 escribe en una carta a un amigo:

  t  sen(nt )
f (t ) 


2
n
n 1
sen(2t ) sen(3t )
sen(t ) 

 ...
2
3
¿Es cierto?
Observemos que en t = 0
hay problemas → π/2 = 0 ¡¡
La clave está en el concepto de función periódica.

2

FuncionesPeriódicas
Una función periódica f(t) cumple que para todo
valor de t:
f(t) = f(t + T).
Al valor mínimo, mayor que cero, de la constante
T que cumple lo anterior se le llama el periodo
fundamental (o simplemente periodo) de la
función.
Observa que:
f(t) = f(t + nT), donde n = 0, 1,  2, 3,...
Cuestión: ¿Es f(t) = cte. una función periódica?

3

Ejemplo: ¿Cuál es el periodo de la función

f(t)cos ( 3t )  cos (

t
4

)?

Si f(t) es periódica se debe cumplir:
f(t  T) cos (

t T
3

)  cos (

t T
4

)  f(t) cos ( 3t )  cos (

t
4

)

Como cos(t + 2k) = cos(t) para cualquier entero k,
entonces, para que se cumpla la igualdad, se requiere
que:
T/3 = 2k1 y T/4 = 2k2
Es decir:
T = 6k1= 8k2
con k1 y k2 enteros.
El valor mínimo de T se obtiene con k1= 4, k2= 3, es
decir, T = 244

f(t) cos ( 3t )  cos (

Gráfica de la función

t
4

)

3
2

T

f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)

f(t)

1
0
­1
­2
­3

24 
0

50

100

t

150

200

5

¿Es la suma de dos funciones
periódicas una función periódica?
Depende. Consideremos la función:

f(t) = cos(1t) + cos(2t).
Para que sea periódica se requiere encontrar dos
enteros m, n tales que:
1T = 2m y 2T =
2n.
Es decir, que cumplan:
 m
1T = m/ (2 1) = n/ (2 2)

2



n

6

Ejemplo: para la función cos(3t) + cos((+3)t)
tenemos que
1
3
2

¿Es periódica?



3

f(t)=cos(3t)+cos((3+π)t)

2

f(t)

1

0

­1

­2

0

5

10

15

t

20

25

30

7

Para que exista periodicidad 1/ 2 debe ser
un número racional (n/m).
Ejercicios: Encontrar el periodo de las
siguientes funciones, si es que son periódicas:
1)
2)
3)
4)

f(t) =sen(nt), donde n es un entero.
f(t) = sen2(2t)
f(t) = sen(t) + sen(t + )
f(t) = sen(1t) + cos(2t)

5) f(t) = sen(2 t)

8

Si f1(t) tiene periodo T1 y f2(t) tiene periodo T2,
¿es posible que f1(t) + f2(t) tenga periodo
T < min(T1,T2)?
T1 = 5

T2 =  5

T =  2,5

9

Podemos construir incluso un ejemplo de dos funciones de
igual periodo, cuya suma puede tener un periodo tan
pequeño comoqueramos. Sea N un entero, y definamos:

1

 sen(2 Nt ), 0 t  N
f1 (t ) 
1
 0,
 t 1
N


1

0 t 
 0,
N
f 2 (t ) 
1
 sen(2 Nt ),
 t 1
N


extendida periódicamente con T = 1:

extendida periódicamente con T = 1:

f1 (t )  f1 (t  1),    t  

f 2 (t )  f 2 (t  1),    t  

, 0 t  1
 sen(2 Nt )
f1 (t )  f 2 (t ) 
 f1 (t  1)  f 2 (t  1),    t  
2
2
1
T

 2 N N

10

¿Puede una función f(t) cumplir la condición
f(t) = f(t + T) para todo t y no tener un periodo
fundamental?

1
f1 (t ) 
0

si t es un entero
si t no es un entero

1
f1 (t )  f1 (t  T ) 
0
 T 1

si t y t  T son enteros
si t y t  T no son enteros
11

1
f 2 (t ) 
0

si t es racional pero no un entero
si t es irracional o es un entero

1
f 2 (t )  f 2 (t  T ) 
0 T 1

si t y t  T son racionales pero no enteros
si t y t  T son irracionales o enteros

 1 si t es racional
f1 (t )  f 2 (t ) 
 0 si t es irracional
T=?

12

Volvamos al resultado
de Euler:
¿Cómo lo alcanzó?
Utilizando la fórmula de
Euler para cada término:
it

i 2t

t
sen(2t ) sen(3t )
sen t 

 ...
2
2
3

 S (t ) eit  ei 2t  ei 3t  ...
 it
 e S (t ) e i 2t  e i 3t  ...eit
1 1 sen t
S (t ) 


i
it
1 e
2 2 1  cos t

i 3t

S (t ) e  e  e  ... 
cos t  cos(2t )  cos(3t )  ...  i  sen t  sen(2t )  sen(3t )  ...
          


Integrando
término a término:
Particularizamos t
para encontrar C:

1
2

sen(2t ) sen(3t )
1
sen t 

 ...  t  C
2
3
2

1 1 1


t   1     ...   C ; C 
2
4
2
 3  5  7 

4

13

t...