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GEOMETRÍA ANALÍTICA

GIRO DE LOS EJES
CONTENIDO
1.

Ecuaciones de giro

2.

Ejercicios

Ya tratamos el procedimiento, mediante el cual, con una translación paralela de ejes,
simplificamos las ecuaciones en particular de las curvas cónicas.
Ahora simplificaremos, presentando un proceso llamado giro de los ejes de coordenadas,
mediante el cual transformaremos la ecuación de la forma A x 2 + B x y +C y 2 + D x + E y + F = 0 en
otra que carece del término Bxy, que siempre está cuando los ejes focales de la parábola, elipse
hipérbola están inclinados respecto a los ejes de coordenadas.
Cuando en un sistema de coordenadas rectangulares xy consideramos un nuevo par de
ejes x'y' con el mismo origen, y referimos un punto del primer sistema coordenado al segundo,
efectuamos un giro de ejes.También en el giro de ejes existe
una relación entre las coordenadas de un
punto (x, y) y las coordenadas del mismo
punto (x', y') referido al nuevo sistema de
ejes coordenados; con el objeto de
obtener dicha relación, llamaremos Φ a la
magnitud del ángulo medido en sentido
positivo desde la parte positiva del eje x,
hasta la parte positiva del nuevo eje x',
como se muestra en la figura adjunta.
Según lafigura, considerando el
punto P(x, y), 0x y 0y son los ejes
originales, en tanto 0x' y 0y' son los
nuevos ejes, después de haber girado un
ángulo Φ alrededor del origen.

0A=x ; AP=y
Que son las coordenadas primitivas de P(x, y).
Y que 0 B = x ′ ; B P = y ′ , que son las nuevas coordenadas del mismo punto P.

1.

Ecuaciones de giro.
De la figura anterior se observa que: 0 A = 0 C - A C ; perocomo A C = B D , queda que:

9. GIRO DE LOS EJES
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

9-1

GEOMETRÍA ANALÍTICA

0 A = 0 C - B D .............................................................................................................(1)
De la misma manera; se observa que: A P = A D + D P ; pero como A D = B C , queda que:
A P = B C + D P..............................................................................................................(2)

Ahora en el triángulo rectángulo 0BC de la figura se tiene por definición trigonométrica que:
0C

cos Φ =

0B

sen Φ =

. Por tanto depejando a : 0 C = 0 B cos Φ .............................................(3)

BC
0B

. Por tanto despejando a : B C = 0 B sen Φ........................................(3’)

Por otra parte en el triángulo rectángulo BDP, de la misma figura se tiene también que:
sen Φ =

cos Φ =

BD
BP
DP
BP

. Por tanto despejando a : B D = B P sen Φ ..........................................(4)

. Por tanto despejando a : D P = B P cos Φ ......................................(4’)

Sustituyendo (3) y (4) en (1) y (2), respectivamente tenemos:

0 A = 0 B cos Φ - B Psen Φ
A P = 0 B sen Φ + B P cos Φ
Pero según la figura:

0 A = x ; 0 B = x′
A P = y ; B P = y′
Por lo que al sustituir en las expresiones anteriores quedan como:

x = x ′ cos Φ - y′ sen Φ ................................................................................................(I)
y = x ′ sen Φ + y′ cos Φ...............................................................................................(II)
Que son las ecuaciones de giro de los ejes, aplicables para cualquier posición del punto P
y cualquier valor de Φ.
Veremos la aplicación de estas dos formulas que se usan para simplificar ecuaciones
mediante un giro de ejes, o para encontrar las coordenadas de un punto, pasando de un sistema
de coordenadas a otro en que los ejes hayan sido girados en determinado ángulo.

9. GIRO DELOS EJES
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

9-2

GEOMETRÍA ANALÍTICA

2.

Ejercicios

1.

Haciendo girar los ejes un ángulo de 45°°, probar que la ecuación x 2 + x y + y 2 = 1 ,
representa una elipse.

SOLUCIÓN
Las ecuaciones de giro, (I) y (II) son, sabiendo que sen 45° =

1
2

; cos 45° =

1
2

:

Sustituyendo quedan:

x = x ′ cos 45° - y...