96027 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES jaime

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Jaime Reveco Martínez

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Regiones
Definición:
a) ÐB9 ß C9 Ñ es un punto interior de una región V sí, es el centro de un disco
que se encuentra totalmente en V .
b) ÐB9 ß C9 Ñ es un punto Frontera de V sí, todo disco con centro en ÐB9 ß C9 Ñ
contiene puntos que pertenecen a V y puntos que Nopertenecen a VÞ
Regiones Cerradas: Una región es cerrada si todos los puntos fronteras pertenecen
a la Región.
Regiones Abiertas: Una región es abierta si solo contiene puntos interiores.
Regiones Acotadas: V es acotada si se encuentra dentro de un disco de radio fijo.
Definición:
Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par
ordenado Ð Bß C Ñ de D le corresponde un número real0 Ð Bß C Ñ, entonces se dice que 0
es una función de las variables B e CÞ El conjunto D es el dominio de la función 0 y el
conjunto de valores de 0 Ð Bß C Ñ es el recorrido de 0 Þ
Ejemplos:
0 Ð Bß C Ñ œ B#  C#
0 Ð Bß C Ñ œ B$  %B# C  C$

/>-ß />-Þ

Ejercicio:
Hallar el dominio de la función 0 Ð Bß C Ñ œ

È B# C# *
B

Solución:
Pertenecen al dominio de la función todos los puntos Ð Bß C Ñtales que
a)
BÁ!
b)
B#  C#  * Ÿ !

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-3

Ejercicios propuestos:
Hallar el dominio de definición de las siguientes funciones de dos variables:
+Ñ
-Ñ

0 Ð Bß C Ñ œ È%  B#  C#
BC
0 Ð Bß C Ñ œ BC/Ñ

1Ñ

,Ñ
.Ñ

0 Ð Bß C Ñ œ +<-=/8 Ð B  C Ñ
0 Ð Bß C Ñ œ 68 Ð%  B  CÑ

0 Ð Bß C Ñ œ BC

0Ñ

0 Ð Bß C Ñ œ /

0 ÐBß CÑ œ 68ÐBCÑ

2Ñ

B
0 ÐBß CÑ œ +<--9=Ð BC
Ñ

BC

B
C

Las funciones de varias variables pueden combinarse en la misma forma que se
hace con funciones de una variable, esto es
Ð0 „ 1Ñ ÐBß CÑ œ 0 ÐBß C Ñ „ 1 ÐBß CÑ à

0 ÐBß CÑ † 1ÐBß CÑ

à

0 ÐBßCÑ
1 ÐBßCÑ

Observación:
La funcióncompuesta dada por Ð 1 ‰ 2Ñ ÐBß CÑ se define solamente si
función de B / C ß y 1 es una función de una única variable.
Ejemplo
D œ 68 ÐB#  C  %Ñ es función compuesta de 2 ÐBß CÑ œ B#  C  % y
1Ð?Ñ œ 68 ?Þ
Graficas y curvas de Nivel
Def Curvas de nivel Ê 0 ÐBß CÑ œ -

denominada curva de nivel -

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2 esuna

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I4 Trace curvas de nivel de 0 ÐBß CÑ œ %  B#  C#
SUPERFICIES CUÁDRICAS
CILINDROS:
Superficies compuestas de todas las rectas paralelas a una recta dada
$
en ‘ y pasan por una curva plana dada (generatriz)
C œ B# Ð./<3@/ C œ B#Ñ

Ej. Cilindro parabólico

SUPERFICIES Es la gráfica de unaecuación de segundo grado en Bß C y D , su forma
general es: EB#  FC#  GD #  HBC  ICD  J BD  KB  LC  N D  O œ !Þ
Realizando una traslación y/o rotación adecuada, la ecuación se reduce a:
EB#  FC#  GD #  O œ ! o EB#  FC#  GD œ !
Elipsoide:

B#
C#
D#


œ"
+#
,#
-#

Si dos ejes son iguales, entonces Elipsoide de Revolución.
Si + œ , œ - la gráfica es una esfera.
B#  %C#  "'D # œ "' Ð./<3@/À D œ
B#
C#
D
Paraboloide Elíptico: #  # œ
+
,
Cono Elíptico:

B#
+#



C#
,#

œ

D#
-#

Ej. %B#  "'C# œ D Ð./<3@/ D œ %B#  "'C#
Ej. B#  %C# œ D # Ð./<3@/ :<37/<9 ./=:/4+< DÑ

B#
C#
D#
B#
C#
D#


œ
"
EJ


œ"
+#
,#
-#
%
)
*

Hiperboloide de una hoja

Hiperboloide de dos hojas
Paraboloide Hiperbólico

Ñ

C#
,#

B#
C#
D#
B#
C#
D#


œ
"
Ej


œ"
+#
,#
-#
%
)
*


B#
+#

œ

D
-

Ð-  !Ñ EjC#  B# œ D

LÍMITE Y C0NTINUIDAD
Def. 0 ÐBß CÑ tiende a P cuando ÐBß CÑ tienda a ÐB9 ß C9 Ñ esto es:

lim 0 ÐBß CÑ œ P

ÐBßCÑÄÐ!ß!Ñ

Si el límite no existe, entonces usando distintas trayectorias el límite es distinto

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