97 Pdfsam C Lculo

Funciones | Capítulo 2

Capítulo 2

Funciones
2.1

Introducción

En este capítulo estudiaremos uno de los conceptos más importantes en matemáticas: el de
función. En especial, abordaremos las funciones de valor y variable reales, sus operaciones, sus
gráficas, etc. En las aplicaciones se verá claramente que los modelos matemáticos vienen dados
generalmente por funciones. La parte gráfica setratará de explorar al máximo para poder brindar
más claridad en los conceptos.

2.2

Nota histórica
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) fue el primero en utilizar la palabra función en 1673,
aunque su definición no fue suficientemente clara. Pero en 1748, Leonhard Euler (1707-1783)
convierte el concepto de función en el centro de su obra Introductio in analysis infinitorum, definiéndola así:
Unafunción de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier
manera, de una cantidad variable y de números o cantidades constantes.

79

CAPITULO 02_funciones.indd 79

21/01/2008 11:12:36 a.m.

Cálculo con aplicaciones

El problema radicaba en cuál era el significado de “expresión analítica”, concepto que si bien
Leibniz no definía, suponía que el lector entendería comoexpresiones construidas con las operaciones básicas de adición, multiplicación, radicación, potencias, etc. Euler dividió las funciones
en dos tipos: algebraicas y trascendentes (exponenciales, logarítmicas, etc.). Sin embargo, a pesar
de todo este avance conceptual, Euler hacía una distinción entre la función y su representación,
lo que llevaba a confusiones.

Debemos observar que a pesar de que no setuviera una definición precisa de función, esto no
impedía que se evolucionara en esta dirección. De hecho, se trabajaba con series de potencias, la
expansión de una función en serie de Taylor, límites, continuidad, etc. En matemáticas siempre
ha sucedido lo mismo: los grandes desarrollos acontecen primero, luego se define la teoría. Euler
decía que primero estaba la idea y después venía elestablecimiento de su teoría.

Posteriormente, Agustín Cauchy (1789-1857), como gran exponente del rigorismo matemático,
volvió en 1821 sobre el concepto de función. En éste destacaba la dependencia entre las variables
y cubría así el caso de las funciones explícitas y las implícitas, tan comunes en las soluciones
de muchas ecuaciones diferenciales. No obstante, después de muchas acaloradasdiscusiones
respecto a lo que era o no una función, y con la necesidad de que ésta cubriera todos los casos,
Edouard Goursat (1858-1936) dio una definición moderna en 1923. Es la que aparece con más
frecuencia en los libros de texto:

Se dice que y es una función de x, si a un valor de x le corresponde un único valor de y. Se indica
esta correspondencia mediante la ecuación y = ƒ(x).



Objetivos
1.
2.
3.Entender las diferentes representaciones de una función.
Aplicar cuando sea necesario el álgebra básica en problemas relacionados con funciones.
Plantear modelos matemáticos.

2.3 Funciones
Si tenemos un conjunto X no vacío, a x se la denomina variable definida en X, lo cual significa que
podemos identificarla con cualquier elemento de X. Al conjunto X se lo denomina dominio de la
variable.En los números reales, los intervalos son el dominio más importante de una variable. En este
caso, decimos que x es una variable continua.

En particular, el dominio de una variable continua puede ser todos los números reales
= (–∞, ∞), o los reales positivos += (0, ∞).

80

CAPITULO 02_funciones.indd 80

21/01/2008 11:12:37 a.m.

Funciones | Capítulo 2

El dominio de una variable puede tener unnúmero infinito no numerable de elementos, por
ejemplo el intervalo (2, 5); o un número infinito numerable, por ejemplo los números naturales.
El conjunto X puede ser finito; por ejemplo, si X representa el número de unidades que se venden
de un artículo, en este caso X = {0, 1, 2,…, n}. Cuando el dominio de la variable X es un conjunto
finito o infinito numerable, decimos que x es una variable...