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CAPÍTULO II

PARTE 1. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN ELASTICIDAD
2.1

Introducción [1-3,9].

Las aproximaciones usadas para determinar la influencia de fuerzas aplicadas,
así como torque en cuerpos elásticos son: mecánica de materiales y la teoría
de elasticidad. Ambas recaen en las condiciones de equilibrio y hacen uso de
las

relaciones

esfuerzo-deformación usualmente

consideradas

alasociar

materiales elásticos. La diferencia esencial entre ambos métodos está en el
tipo de simplificaciones empleadas. Por así decirlo, la mecánica de materiales
es la manera ingenieril de analizar esfuerzos, mientras que la teoría de
elasticidad es la manera matemática de analizar esfuerzos.
En la teoría de elasticidad, uno busca esfuerzos y deformaciones que
satisfagan simultáneamente las ecuacionesde equilibrio en cada punto del
cuerpo, compatibilidad en todos los desplazamientos, y las condiciones de
frontera en el esfuerzo y desplazamiento. En contraste con la mecánica de
materiales, este método no opera bajo ninguna suposición inicial o alguna
aproximación acerca de la deformación geométrica del cuerpo. Es por esto que
la teoría de elasticidad puede resolver un problema en donde uno nopueda
suponer anticipadamente el cambio de deformación en un cuerpo, como en el
caso para determinar los esfuerzos alrededor de un orificio en una placa [Cook,
pp. 2-6].
Para averiguar la distribución de esfuerzos, deformaciones y desplazamientos
dentro de un cuerpo elástico sujeto a un sistema de fuerzas requerimos la
consideración de un número de condiciones fundamentales relacionadas conCAPITULO II

PARTE 1. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN ELASTICIDAD

leyes

físicas,

propiedades

del

material

y

geometría.

Estos

principios

fundamentales de análisis se describen de la siguiente manera:
1. Las ecuaciones de equilibrio deben satisfacerse en todo el cuerpo.
2. Las relaciones esfuerzo-deformación (Ley de Hooke) deben aplicarse al
material.
3. Condiciones de compatibilidad. Lascomponentes de deformación deben
ser consistentes con la preservación de la continuidad del cuerpo.
Además, los campos de esfuerzo, deformación y desplazamiento deben
ajustarse a las condiciones de carga impuestas en la frontera, se dice pues que
se deben cumplir las condiciones de frontera [Ugural, 1995].

2.2

Afirmación del problema plano [2].

Se considera un cuerpo homogéneo, isotrópico yelástico confinado por dos
planos paralelos y una o más superficies cilíndricas cuyos generadores son
perpendiculares a los planos de frontera. En la figura 2.1, se muestra el caso
en donde la región ζ ocupada por el cuerpo es finita y simple conexa. Sea S L la
frontera lateral cuyo trazo en el plano medio (z = 0 ) es la curva plana C . Ahora
supongamos que el cuerpo es cargado sólo por fuerzas desuperficie en S L y
por fuerzas de cuerpo, y que todas estas cargas externas sean paralelas a los
planos de frontera y constante en la dirección z . Estas dos componentes de las
−

−

−

X n ( x, y ) y Y n ( x, y ) . Estas

fuerzas de superficie pueden denotarse por
−

notaciones son usadas para denotar que X n y Y n son funciones de x y y
solamente, y no de z .

CAPITULO II

PARTE 1. PROBLEMASBIDIMENSIONALES EN ELASTICIDAD

Las componentes de la fuerza de cuerpo son:

X =−

∂Ω
∂x

Y =−

∂Ω
∂y

(2.1)

Z =0
donde

Ω = Ω( x , y )
Las condiciones de frontera son,

σ z = τ zx = τ zy = 0

en z = ±

t
2

(2.2)

σ x cos(n, x ) + τ xy cos(n, y ) = X n ( x, y )
−

−



τ xy cos(n, x ) + σ y cos(n, y ) = Y n ( x, y ) 
τ zx cos(n, x ) + τ zy cos(n, y ) = 0





en S L

(2.3)

Este tipoespecial de problema se le llama problema plano, o problema
bidimensional. Una gran variedad de problemas caen en esta categoría. Para
resolver el problema plano, tres métodos son comúnmente utilizados.

Figura 2.1 Cuerpo cilíndrico confinado por los planos

±t 2

y la superficie lateral

SL

[Durelli, p.119,

1958]
CAPITULO II

PARTE 1. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN ELASTICIDAD

Estos son: método de...