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LÍNEA RECTA

4.1. Importancia de la línea recta y su aplicación al modelo de costo lineal
Un fabricante de ropa ha decidido poner en liquidación un lote de prendas con defecto. ¿Qué
precio deberá poner en la etiqueta para que durante la liquidación pueda reducir este precio en
25% y aun así obtener una ganancia de 15% sobre el costo de la prenda?
Situaciones como ésta se presentan cotidianamenteen el mundo de los negocios,
para poder responder ésta y algunas otras preguntas necesitamos conocer algunos aspectos
importantes sobre las rectas y su relación con las ecuaciones lineales.
Una línea recta es la gráfica de una ecuación lineal con dos variables; su forma general
es Ax + By + C = 0; pero ¿qué relación existe entre los coeficientes A, B y C y las características
de una recta?
Una delas características importantes de una recta es su inclinación; una recta puede
estar inclinada hacia la derecha, hacia la izquierda, ser horizontal o vertical.

4.1.1. Pendiente y ordenada al origen
Se llama pendiente de una recta a la tangente del ángulo que forma la recta

m= tanθ
•

con el semieje positivo X; se denota por la letra m.
Si la recta se encuentra inclinada hacia la derecha, elángulo de inclinación es
0< θ < 90° y la pendiente es positiva m > 0.

•

Si la recta se encuentra inclinada hacia la izquierda, el ángulo de inclinación es
90°< θ < 180° y la pendiente es negativa m < 0

θ

θ

Recta inclinada hacia la derecha
m>0

Recta inclinada hacia la izquierda
m<0

Figura 1. Inclinación de la recta y el signo de la pendiente

173

UNIDAD 4

•

Si la recta es horizontal, elángulo de inclinación es θ=0° y la pendiente es cero
m = 0. Estas rectas tienen como ecuación y = k, donde k es una constante.

•

Si la recta es vertical, el ángulo de inclinación es θ=90° y no existe la
pendiente (tan 90° no existe). Estas rectas tienen como ecuación x = k donde
k es una constante.

x=k

y=k
θ

k

k
Recta vertical, no existe la pendiente.

Recta horizintal m = 0

Figura 2.Inclinación de la recta y su relación con la pendiente

Ordenada al origen
Se llama ordenada al origen de una, recta a la coordenada “b” del punto (0, b) donde la recta
intersecta al eje Y.
¿Cómo reconocemos la ordenada al origen y la pendiente de una recta cuya ecuación
es de la forma general Ax + By + C = 0?
a) Primero despejamos y de la ecuación:
Ax + By + C = 0
y=−

A
C
x−
B
B

Esta ecuación ya tiene laforma:
y = mx + b de donde la pendiente está dada por:
m=−

A
B

Y la ordenada al origen por:
b=−

174

C
B

LÍNEA RECTA

Ecuación ordinaria
Se llama ecuación ordinaria de una recta a la ecuación de la forma y = mx + b donde m
representa la pendiente de la recta y b corresponde a la ordenada al origen.

Ecuación general
Se llama ecuación general de una recta a la ecuación de la forma Ax + By + C= 0 donde A,
B y C son números enteros.

Ejemplo 1
¿Cuál es la pendiente y la ordenada al origen de la recta cuya ecuación es 3x–2y+5=0?
Despejamos y de la ecuación para llegar a la forma y = mx + b
3x − 2 y + 5 = 0
−2 y = −3 x − 5
y=

−3 x −5
+
−2 −2

y=

3x 5
+
2 2

Respuesta: Identificamos la pendiente y la ordenada al origen:
m=

3
2

b=

5
2

Ejemplo 2
Identifica la pendiente y la ordenada alorigen de la recta cuya ecuación es:
–8x + 3y = –9
Despejamos y de la ecuación para llegar a la forma y = mx + b
−8 x + 3 y + 9 = 0
3 y = 8x − 9
y=

8 x −9
+
3
3

y=

8x
−3
3

Respuesta: Identificamos la pendiente y la ordenada al origen:
m=

8
3

b = −3

175

UNIDAD 4

Actividad 1
Identifica la pendiente y la ordenada al origen de las siguientes ecuaciones de la recta y menciona
hacia dondeestá inclinada.

a) 2x – y = 5

b) x + 2y =0

c) 3x = –2y + 9

d) 5y – 4 = 3x

e) y = –8

4.1.2. Ecuación de la recta dadas la pendiente y un punto
¿Cuántas rectas tienen la misma pendiente?
La respuesta es: ¡infinitas!, ya que todas las rectas paralelas a una recta dada tienen la
misma inclinación y por tanto la misma pendiente.

θ

θ
θ

θ

Figura 3. Rectas con la misma inclinación.
Sin embargo...