A843 13

Álgebra Lineal
Ma1010
Métodos Iterativos para Resolver Sistemas Lineales
Departamento de Matemáticas

ITESM

Métodos Iterativos para Resolver Sistemas Lineales

Álgebra Lineal - p. 1/30

Introducción
En esta lectura veremos procedimientos iterativos
para resolver un sistema de ecuaciones lineales.
El primero de ellos conocido como el
procedimiento de Jacobi basado en la idea de
punto fijo y unsegundo procedimiento conocido
como método de Gauss-Seidel el cual es una
modificación simple del procedimiento de Jacobi.
Introduciremos el concepto de matriz
diagonalmente dominante el cual se relaciona con
la garantía de convergencia en la aplicación de los
métodos vistos. Veremos que en algunos casos es
posible replantear el sistema para garantizar la
convergencia. Asimismo se comentará en quésituaciones los métodos iterativos son más
convenientes a los métodos directos.
Métodos Iterativos para Resolver Sistemas Lineales

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Introduccion
Objetivos
Generalidades
Un ejemplo
Ventajas y
Desventajas
Iterativo General
´
Metodo
Jacobi
Ejemplo 1
Convergencia
Diagonalmente
Dominante
Ejemplo 2
Reordenamiento
Gauss-Seidel
Ejemplos
Costo
Computacional

Álgebra Lineal - p. 2/30

Se recomiendautilizar el archivo de excel que se
provee para ilustrar la convergencia de los
métodos, sobre todo los siguientes hechos:
■ Que la convergencia se tiene siempre que la
matriz es diagonalmente dominante, sin importar
cual sea la semilla o el vector de constantes.
■ Que cuando la matriz de coeficientes no es
diagonalmente dominante, se puede tener
convergencia ya sea por que la semilla es la
adecuada yasea por el vector de constantes.
En términos formales, que la condicional Si la
matriz de coeficientes es DD, entonces Jacobi
converge es cierta, mientras que su recíproca no
lo es.

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Introduccion
Objetivos
Generalidades
Un ejemplo
Ventajas y
Desventajas
Iterativo General
´
Metodo
Jacobi
Ejemplo 1
Convergencia
Diagonalmente
Dominante
Ejemplo 2Reordenamiento
Gauss-Seidel
Ejemplos
Costo
Computacional

Álgebra Lineal - p. 3/30

Objetivos
Será importante que usted
■ Entienda los conceptos:
◆ método iterativo,
◆ ecuación de recurrencia,
◆ convergencia,
◆ matriz diagonalmente dominante
■ En términos cualitativos
◆ Entienda la diferencia entre un método directo
y uno iterativo.
◆ Entienda la conveniencia de usar un método
iterativo y unodirecto.
■ Entienda y mecanice los procedimientos de
◆ Método de Jacobi, y
◆ Método de Gauss-Seidel.

Métodos Iterativos para Resolver Sistemas Lineales

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Introduccion
Objetivos
Generalidades
Un ejemplo
Ventajas y
Desventajas
Iterativo General
´
Metodo
Jacobi
Ejemplo 1
Convergencia
Diagonalmente
Dominante
Ejemplo 2
Reordenamiento
Gauss-Seidel
Ejemplos
Costo
Computacional

Álgebra Lineal - p. 4/30Generalidades
Un método iterativo es un método que
progresivamente va calculando aproximaciones a la
solución de un problema. En Matemáticas, en un
método iterativo se repite un mismo proceso de
mejora sobre una solución aproximada: se espera
que lo obtenido sea una solución más aproximada
que la inicial. El proceso se repite sobre esta
nueva solución hasta que el resultado más
reciente satisfagaciertos requisitos. A diferencia
de los métodos directos, en los cuales se debe
terminar el proceso para tener la respuesta, en los
métodos iterativos se puede suspender el proceso
al termino de una iteración y se obtiene una
aproximación a la solución.

Métodos Iterativos para Resolver Sistemas Lineales

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Introduccion
Objetivos
Generalidades
Un ejemplo
Ventajas y
Desventajas
Iterativo General
´Metodo
Jacobi
Ejemplo 1
Convergencia
Diagonalmente
Dominante
Ejemplo 2
Reordenamiento
Gauss-Seidel
Ejemplos
Costo
Computacional

Álgebra Lineal - p. 5/30

Método Iterativo: Un ejemplo
Considere el problema de encontrar una raíz a una
ecuación cuadrática, por ejemplo:
f (x) = x2 − x − 2 = 0

Métodos Iterativos para Resolver Sistemas Lineales

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Introduccion
Objetivos
Generalidades
Un ejemplo...