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Modelos matemáticos. Los modelos matemáticos pueden adoptar muchas formas distintas. Dependiendo del sistema del que se trate y de las circunstancias específicas, un modelo
matemático puede ser más conveniente que otros. Por ejemplo, en problemas de control óptimo,
es provechoso usar representaciones en el espacio de estados. En cambio, para los análisis de la

Al estudiar los sistemas decontrol, el lector debe ser capaz de modelar sistemas dinámicos y
analizar las características dinámicas. Un modelo matemático de un sistema dinámico se define
como un conjunto de ecuaciones que representan la dinámica del sistema con precisión o, al
menos, bastante bien. Téngase presente que un modelo matemático no es único para un sistema
determinado. Un sistema puede representarse de muchas formasdiferentes, por lo que puede tener muchos modelos matemáticos, dependiendo de cada perspectiva.
La dinámica de muchos sistemas, ya sean mecánicos, eléctricos, térmicos, económicos, biológicos, etc., se describe en términos de ecuaciones diferenciales. Dichas ecuaciones diferenciales se obtienen a partir de leyes físicas que gobiernan un sistema determinado —como las leyes
de Newton para sistemasmecánicos y las leyes de Kirchhoff para sistemas eléctricos. Se debe
siempre recordar que obtener un modelo matemático razonable es la parte más importante de
todo el análisis.
A lo largo de este libro se supone que el principio de causalidad se aplica a los sistemas que
se consideren. Esto significa que la salida actual del sistema (la salida en t % 0) depende de las
entradas pasadas (entradas en t a0) pero no depende de las entradas futuras (entradas para
tb0).

2-1 Introducción

Modelado matemático
de sistemas de control

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Sistemas lineales invariantes y variantes en el tiempo. Una ecuación diferencial
es lineal si sus coeficientes son constantes o son funciones sólo de la variable independiente. Los
sistemas dinámicos formados por componentes de parámetros concentrados linealesinvariantes
con el tiempo se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo
—de coeficientes constantes. Tales sistemas se denominan sistemas lineales invariantes en el
tiempo (o lineales de coeficientes constantes). Los sistemas que se representan mediante ecuaciones diferenciales cuyos coeficientes son funciones del tiempo, se denominan sistemas lineales
variantes en eltiempo. Un ejemplo de un sistema de control variante en el tiempo es un sistema
de control de naves espaciales. (La masa de una nave espacial cambia debido al consumo de
combustible.)

Sistemas lineales. Un sistema se denomina lineal si se aplica el principio de superposición. Este principio establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos
funciones de entradas diferentes esla suma de las dos respuestas individuales. Por tanto, para el
sistema lineal, la respuesta a varias entradas se calcula tratando una entrada cada vez y sumando
los resultados. Este principio permite desarrollar soluciones complicadas para la ecuación diferencial lineal a partir de soluciones simples.
Si en una investigación experimental de un sistema dinámico son proporcionales la causa y
elefecto, lo cual implica que se aplica el principio de superposición, el sistema se considera
lineal.

Simplicidad contra precisión. Al obtener un modelo matemático se debe establecer un
compromiso entre la simplicidad del mismo y la precisión de los resultados del análisis. Al obtener un modelo matemático razonablemente simplificado, a menudo resulta necesario ignorar
ciertas propiedades físicasinherentes al sistema. En particular, si se pretende obtener un modelo matemático de parámetros concentrados lineal (es decir, uno en el que se empleen ecuaciones diferenciales), siempre es necesario ignorar ciertas no linealidades y parámetros distribuidos que pueden estar presentes en el sistema dinámico. Si los efectos que estas propiedades
ignoradas tienen sobre la respuesta son pequeños, se...