Aaaa

Teorema fundamental del cálculo
El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Estosignifica que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separadoal cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadascomo formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado alcálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.
Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamentaldel cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.
Primer teorema fundamental del cálculo
Dada una función f integrablesobre el intervalo , definimos F sobre por . Si f es continua en , entonces F es derivable en y F'(c) = f(c). |
Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:
|Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables.
Demostración
Lema
Sea [[]] integrable sobre y

Entonces

Demostración
Por definición se tieneque .
Sea h>0. Entonces .
Se define y como:
,

Aplicando el 'lema' se observa que
.
Por lo tanto,

Sea . Sean
,
.
Aplicando el 'lema' se observa que
.
Como
,
entonces,
.
Puesto...