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Tema 3. Análisis Factorial
3.1. Antecedentes históricos.
3.2.analisis factorial vs componentes principales
3.3.pasos en el analisis factorial
3.4. examen de la matriz de correlaciones
3.5. matriz factorial. autovalores. comunalidades.
3.6. numero de factores a conservar
3.7. rotaciones factoriales
3.8. interpretación de los factoresAnálisis Factorial

El análisis factorial es una técnica que consiste en resumir la información contenida en una matriz de datos de m variables ( X1 , X2 , ... X m ). Para ello se identifican un reducido número de factores, menor que el número de variables. Los factores representarán a las variables, con una pérdida mínima de información.
Si concretamos a un modelo de 5 variables observadas delas que llegamos a 2 factores subyacentes, la expresión algebraica y gráfica del modelo sería:

X 1 = a11 F1 + a12 F2 + d 1V1
X 2 = a21 F1 + a22 F2 + d 2V2
X 3 = a31 F1 + a32 F2 + d 3V3
X 4 = a41 F1 + a42 F2 + d 4V4
X 5 = a51 F1 + a52 F2 + d 5V5

En general el modelo factorial
se puede expresar:
X i j = Fi 1 a j1 + Fi 2 aj 2 + ... + F i k a j k + V ij d j

Siendo
X i j la puntuación del individuo i en la variable j
F k el k-esimo factor común
a j k puntuaciones factoriales es el peso de la regresión del factor k en la variable j. También se las llama cargas factoriales o saturación de la variable j en el factor k
V j es el factor único de cada variable
d j es la discrepancia existente entre la puntuación observada y elvalor que daría la relación funcional exacta
Se asume que los factores únicos no están correlacionados entre sí ni con los factores comunes.
Se puede distinguir entre Análisis Factorial exploratorio, donde no se conocen los factores "a priori", que se calculan mediante el análisis Factorial y análisis Factorial Confirmatorio donde se propone "a priori" un modelo, según el cual hay unos factoresque representan a las variables originales, siempre hay mas variables que factores y se somete a comprobación el modelo.
Para que el análisis factorial tenga sentido hacen falta dos condiciones: Parsimonia e interpretabilidad. Según el principio de parsimonia los fenómenos deben explicarse con el menor número de elementos posibles, por lo que cuanto menos factores tengamos mejor. Pero además estosfactores deben poder ser interpretados mediante teoría sustantiva. Una buena solución factorial es siempre sencilla e interpretable.

Antecedentes históricos.
Los antecedentes del Análisis Factorial se encuentran en las técnicas de regresión lineal, iniciadas por Galton. Un continuador suyo fue K. Pearson (1901), que presentó la primera propuesta del "método de componentes principales", primerpaso para el cálculo del Análisis Factorial. El origen del Análisis Factorial suele atribuirse a Spearman (1904), en su clásico trabajo sobre inteligencia, donde distingue un factor general (factor G) y cierto número de factores específicos. Hotelling (1933), desarrolló un método de extracción de factores sobre la técnica de "componentes principales". Thurstone (1947), expresó la relación entrelas correlaciones y las saturaciones de las variables en los factores. Introdujo el concepto de estructura simple. También desarrolló la teoría y método de las rotaciones factoriales para obtener la estructura factorial más sencilla. En un principio las rotaciones eran gráficas. Kaiser (1958) desarrolló el método Varimax para realizar rotaciones ortogonales mediante procedimientos matemáticos. A lolargo del desarrollo histórico del Análisis Factorial se han planteado algunos problemas de fondo que han dado lugar a distintas propuestas de solución. Los aspectos más polémicos han sido:
a- La estimación de las comunalidades. (comunalidad (h 2): proporción de la varianza total explicada por los factores comunes en una variable)
b- Los métodos de extracción de factores.
c- El número de...