Aaaaaa

Notas Explicativas (espero): Supremo e ´ Infimo.
Mauricio Godoy Molina Marzo, 2005
Resumen Necesario, imprescindible, trascendental, etc. No alcanzan los apelativos a la hora de concebir en el abstracto (y en la pr´ctica) dos de a los conceptos m´s importantes del an´lisis real: Supremo e ´ a a Infimo. Lo que deber´ motivarnos a la comprensi´n de estas potentes ideas no es ıa o ni m´s ni menosque acercar a los alumnos suavemente a las maravillas a del c´lculo infinitesimal. a

1.

Conjuntos Acotados de R.

Este t´pico se enmarca en la construcci´n axiom´tica de los reales, en paro o a ticular en los llamados Axiomas de Completitud. Para desentra˜ar un poco n de qu´ hablamos cuando decimos que un conjunto es completo necesitamos e saber, a ciencia cierta, qu´ significa el conceptode sucesi´n (en particular e o las llamadas sucesiones de Cauchy o fundamentales) y a qu´ nos referimos al e establecer si esta converge o no, por lo tanto dejaremos un poco de lado este tema (aunque lo volveremos a tratar en el t´pico de sucesiones) para dejar o entender la siguiente definici´n: o Definici´n 1.1 Diremos que un conjunto es completo si y s´lo si satisface o o el Axioma del Supremo(ver Observaci´n). o Observaci´n: En realidad lo que llamamos axioma del supremo es cono siderado en general un Teorema (cuya demostraci´n se aleja de los objetivos o del curso). El punto es el siguiente: si queremos hacer una construcci´n ao xiom´tica de los n´meros reales necesitamos incluirlo como axioma de coma u pletitud, en cambio si somos estrictos en la construcci´n (es decir, a partir o 1de los n´meros Q) nos daremos cuenta de que es absolutamente demostrable u a partir de unos pocos conceptos. Para continuar esta breve exposici´n, necesitamos conocer m´s en proo a fundidad lo que son los conjuntos acotados. Naturales deber´ parecerles las ıan siguientes definiciones. Definici´n 1.2 Diremos que s ∈ R es una cota superior del conjunto A ⊂ R o si y s´lo si (∀x ∈ A)(x < s). oDefinici´n 1.3 Diremos que i ∈ R es una cota inferior del conjunto A ⊂ R o si y s´lo si (∀x ∈ A)(i < x). o Observaci´n: Con el prop´sito de simplificar las notaciones diremos que o o CS(A) = {x|x es cota superior de A} y, como es de esperarse, tambi´n diree mos que CI(A) = {x|x es cota inferior de A}. Ejemplos.1. En R2 un disco cerrado o abierto (es decir, el interior de una circunferencia con o sin lacircunferencia respectivamente) es un conjunto acotado, pero no se tiene definido un orden. Un conjunto no acotado de R2 ser´ por ejemplo, todos los puntos que se encuentran sobre una ıa, recta. En R2 no podemos hablar de cotas superiores o inferiores debido a que no se tiene la noci´n de orden. o 2. En Z vimos los conjuntos acotados en el apunte de inducci´n. Clarao mente un conjunto no acotado esel de los n´meros pares. El de los u n´meros primos es un conjunto acotado inferiormente (por ejemplo u por 2) pero no superiormente. 3. En R3 la esfera es un conjunto acotado, no as´ un plano. Al igual que ı 2 3 en R , en R no podemos hablar de cotas superiores o inferiores debido a que no se tiene la noci´n de orden. o Definici´n 1.4 Diremos que el conjunto A es acotado superiormente (resopectivamente inferiormente) si y s´lo si CS(A) = ∅ (respectivamente CI(A) = o ∅). En el caso de que sea acotado tanto superior como inferiormente simplemente diremos que A es acotado.

2

Observaci´n: Lo que quiere decir la definici´n de cotas superiores (reso o pectivamente cota inferior) es que si un conjunto es acotado superiormente (inferiormente) todo elemento del conjunto es m´s peque˜o(grande) – o a a n lo m´s igual – que alg´n otro n´mero real llamado cota. Claramente nos a u u damos cuenta que esta definici´n es v´lida s´lo en conjuntos donde tengamos o a o definida la idea de orden (que queda totalmente explicada a partir de los ya conocidos axiomas de orden). El concepto general de conjuntos acotados es independiente, incluso, de la idea de distancia (ver [1], [2] o [7])....