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´ ALGEBRA LINEAL
Apuntes elaborados por Juan Gonz´lez-Meneses L´pez. a o Curso 2008/2009

´ Departamento de Algebra. Universidad de Sevilla.

´ Indice general
Tema 1. Matrices. Determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales. . . 1.1. 1.2. Matrices: definici´n, operaciones y propiedades b´sicas. . . . . . . o a Transformaciones elementales de filas: matrices escalonadas y reducidas. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dependencia lineal y rango. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrices elementales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrices invertibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformaciones elementales de columnas. . . . . . . . . . . . . . . 1 1

8 11 14 18 21

1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7.1.8. 1.9. 1.10. 1.11. 1.12. 1.13. 1.14.

Determinantes: definici´n y propiedades. Teorema de Cauchy-Binet. 23 o Desarrollo por filas y columnas. Adjunta e inversa. . . . . . . . . . 30 33 35 38 40 45 47

C´lculo de determinantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Rango y menores. M´todo del orlado. . . . . . . . . . . . . . . . . . e Sistemas de ecuaciones lineales. . . . . . . .. . . . . . . . . . M´todo de eliminaci´n de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e o M´todo de Gauss-Jordan. Teorema de Rouch´-Frobenius. . . . . . . e e Regla de Cramer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

iv Tema 2. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. Estructuras algebraicas. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . Dependencia lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas de generadores y bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema de la base. Dimensi´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Dimensi´n y sistemas de vectores. Coordenadas. . . . . . . . . . . . o Cambio de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 49 5457 59 61 63 66 66 69 71 74 76 78 81 82 87 87 89

Tema 3. Variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. Definici´n y propiedades b´sicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o a Ecuaciones param´tricas e impl´ e ıcitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones y dimensi´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . oIntersecci´n y suma de variedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Propiedades de la suma de variedades. F´rmula de la dimensi´n. . . o o Descomposici´n de variedades. Espacio producto y cociente. . . . . o Propiedades de la suma directa. Espacio producto. . . . . . . . . .

Espacio cociente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tema 4. Aplicaciones lineales . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. Definici´n y propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Imagen y n´cleo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u

Imagen e imagen inversa de variedades lineales. Aplicaciones inyectivas. 91 Isomorfismos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicaciones lineales ymatrices I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 95

v 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 4.10. Aplicaciones lineales y matrices II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Primer teorema de isomorf´ ıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Cambio de base. Matrices equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Endomorfismos. Matrices semejantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 El espaciovectorial Hom(V, V ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Tema 5. Endomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. Autovalores y autovectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Multiplicidad algebraica y geom´trica. Diagonalizaci´n. . . . . . . . 113 e o Forma can´nica de Jordan. Subespacios propios generalizados. . . ....