Aaplicación De Los Métodos De Localización De Raíces

A N Á L I S I S D E V I R A C IO NE S B (IN G E N I E R íA M E C Á N IC A )
Antecedentes: las ecuaciones diferenciales se usan a menudo para modelar el comportamiento de sistemas en ingeniería. Uno de tales modelos, que se aplica ampliamente en la mayor parte de los campos de la ingeniería, es el oscilador armónico. Algunos ejemplos básicos del oscilador armónico son el péndulo simple, una masaatada a un resorte y un circuito eléctrico inductorcapacitor. Aunque estos son sistemas físicos muy diferentes, sus oscilaciones se pueden describir mediante un mismo modelo matemático. De esta manera, aunque este problema analiza el diseño de un amortiguador para un automóvil, el comportamiento general se aplica a una gran variedad de problemas en todos los campos de la ingeniería. Como seilustra en la grafica mostrada a continuación, un conjunto de resortes sostienen un auto de masa ‘m’. Los amortiguadores presentan una resistencia al movimiento del auto la cual es proporcional a la velocidad vertical (movimiento ascendente-descendente) del mismo. La alteración del equilibrio del auto provoca que el sistema oscile como ‘x(t)’. En un momento cualquiera, las fuerzas que actúan sobre lamasa ‘m’ son la resistencia de los resortes y la capacidad de absorber el golpe de los amortiguadores.

Un auto de masa m en donde e es un coeficiente de amortiguamiento y dx/ dt es la velocidad vertical. El signo negativo indica que la fuerza de amortiguación actúa en dirección opuesta a la velocidad.

La resistencia de los resortes es proporcional a la constante de los mismos ‘(k)’ y a ladistancia al punto de equilibrio ‘(x)’: Fuerza del resorte = - k x en donde el signo negativo indica que la fuerza de restauración regresa al auto a su posición de equilibrio. La fuerza de amortiguación está dada por:

Fuerza de amortiguación

c

dx dt

en donde ‘c’ es un coeficiente de amortiguamiento y ‘dx/dt’ es la velocidad vertical. El signo negativo indica que la fuerza de amortiguaciónactúa en dirección opuesta a la velocidad. Las ecuaciones de movimiento para el sistema están dadas por la segunda ley de Newton (F = ma), que en este problema está expresada como: ‘a’ Fza. Amort. Fza. Resorte

m

d 2x dt 2

c

dx dt

( kx )

Masa ‘x ’ aceleración = fuerza de amortiguación + fuerza del resorte o

d 2x dt 2

c dx m dt

k x m

0

Esta es una ecuacióndiferencial ordinaria de segundo orden que se puede resolver con los métodos del cálculo. Por ejemplo, si el auto encuentra por casualidad un hoyo en el camino en t = 0 de tal forma que se desplaza del punto de equilibrio x = x 0 y dx/dt = O , entonces:

x (t )
donde n = c/(2m); p =

e

nt

(x 0 cos( pt )

x0

n sen ( pt )) p

k /m

c 2 /(4m 2 ) y k/m > c2/(4m2).

La ecuación anteriorproporciona la velocidad vertical del auto en función del tiempo. Los valores de los parámetros son c= 1.4 por l0 7 g/s; m = 1.2 por 106 g y k = 1.25 por 109 g/s2. Si X0 = 0.3, las consideraciones de diseño en la ingeniería mecánica requieren que se den los estimados en las tres primeras ocasiones que el auto pase a través del punto de equilibrio. Solución: este problema de diseño se puede resolverusando los métodos numéricos de los capítulos 4 y 5 (Bisección, Newton Raphson y Secante). Se prefieren los métodos que usan intervalos y el de la secante ya que la derivada de la ecuación anterior es complicada.

Las aproximaciones a los valores iniciales se obtienen fácilmente con base a la grafica de la función resultante mostrada a continuación. Este caso de estudio ilustra cómo los métodosGráficos proporcionan a menudo información muy importante para aplicar satisfactoriamente los métodos numéricos. La gráfica ilustra que este problema es complicado debido a la existencia de varias raíces, por lo que en este caso, se deben usar intervalos pequeños para evitar traslapes de raíces.

Gráfica de la posición de un amortiguador respecto al tiempo después que la rueda del auto cae en...