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PROBLEMA: DESARROLLO DE LA ECUACION DE CALOR EN DOMINIOS CERRADOS.

Para el estudio del fenómeno de calor se considera una barra de un material conductor de longitud L con determinada densidad, enel que la superficie de dicha barra es aislada, por tanto, no se pierde ni se gana energía a través de esta. Teniendo un área transversal A(x), el problema con estas condiciones se trabaja comounidimensional, por simplicidad.

A(x) Q



L
Figura 1. Flujo de calor en una barra de longitud L.

Usando el primerprincipio de la conservación de la energía [9], sabemos que:

dQ=c(pAdx)θ (1)

Integrando a ambos lados, se obtiene:

Q=x1x2cxpxAdxθx,tdx(2)

Donde: p es la densidad (g/cm3), A es el área transversal (cm2), c es la constante de calor dada en (cal/g°C) y θ es la Temperatura (°C).

Según la ley de Fourier para la conducción delcalor [6], el flujo neto de calor a través de la barra entre dos extremos x1 y x2 está dado por:

Nt=Axkx∂θ∂xx,t (3)Donde k, es la constante de conductividad térmica en cal/cms°C, y la producción de calor dada por las fuentes internas (si las hay) será denotado por H(t) y está dada por:Ht=x1x2hx,tpxAxdx (4)

hx,t relaciona el calor producido por unidad de masa y tiempo en las fuentes y está dado en (cal/g s).
Consecutivamente, por conservación del calor [10] y sabiendo que lasuperficie es aislada, se cumple que:

dQdt=Nt+H(t) (5)

Sustituyendo (2), (3) y (4) en (5):ddtx1x2cxpxAxθx,tdx-Axkx∂θ∂xx,t-x1x2hx,tpxAxdx=0

Finalmente, derivando con respecto a t y agrupando en un solo término las integrales la ecuación queda:

x1x2cxpxAx∂θ∂t-∂θ∂x Axkx∂θ∂xhx,tpxA(x)dx=0...