Aassdf

Sistema de ecuaciones con dos incógnitas

1 Por sustitución: Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, luego sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita. Dado el resultado se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada
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Por igualación: Se despeja la misma incógnita enambas ecuaciones. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita

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Por reducción: Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga. La restamos y desaparece una de las incógnitas.El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

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Gráficamente:
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1) X+y = 2
2x+y=5

Despejo por ejemplo la x de la primera ecuación:

x = 2 – y
2(2 - y) + y = 5
4 - 2y + y = 5
-y = 5 – 4
y = -1
x + (-1) = 2
x -1 = 2
x = 3
x = 2 – (-1)
x = 3

Solución (x = 3, y = -1)

2) 2x+4y=0
X-2y=4

x = 4 + 2y
2 (4 + 2y) + 4y= 0
8 + 4y + 4y = 0
8y = -8
y = -8/8
y = -1
x = 4 + 2· (-1)
x = 4- 2
x = 2

Solución (x = 2, y = -1)

3) x+2y=1
2x+4y=3

x = 1 - 2y
2 (1 - 2y) + 4y = 3
2 - 4y + 4y = 3
y = 3 - 2
0 = 1

Esto es imposible, luego el sistema no tiene solución (las rectas son paralelas).

4) 3x-6y=3
X-2y=1

x = 1 + 2y
3 (1 + 2y) - 6y = 3
3 + 6y - 6y = 3
(x = 2, y = -1)
0y = 3 – 30 = 0

Hay infinitas soluciones (las rectas son coincidentes)
Para encontrar soluciones da valores a una de las incógnitas y despeja la otra.

5) x+y=2
2x+y=5

y = 2 – x
y = 5 – 2x

2 - x = 5 – 2x

- x + 2x = 5 - 2
x = 3

3 + y = 2
y = 2 - 3
y = -1

y = 2 – 3
y = -1

6) x=2y+5
3x-2y=19

x = 2y + 5
3·(2y + 5) -2y = 19
6y + 15 - 2y = 19
4y = 19 – 15
4y = 4
y = 1Sustitución

x = 2·1 + 5
x = 2 + 5
x = 7

7) 6x-3y=5
3x+6y=5

Sumando las dos ecuaciones

12x - 6y =10
+ 3x + 6y = 5
15x = 15
x = 1

Se sustituye en una ecuación
6· 1 – 3y = 5
6 - 3y = 5
-3y = 5-6
-3y = -1
Y= _1_
3

8)
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9)
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10)
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´11)
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12)
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13)
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14)
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15)
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Funciones valor absoluto

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.
2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.
3.Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.
4 Representamos la función resultante.

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D= [pic]

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D=[pic]

Ejercicios

1)
f(x) = |x - 2|
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2)

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D= [pic]

3)
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[pic][pic]
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D=[pic]

4)

f(x) = |x² -4x + 3|
x² -4x + 3 = 0 x = 1 x = 3
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5)
f(x) = |-x² + 5x - 4|
-x² + 5x - 4 =0 x² - 5x + 4 =0 x = 1 x = 4
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6)

f(x) = |x| − x
x = 0
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7) f(x) = |x| / x
x = 0
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8)
1  Tiene pendiente −3 y ordenada en el origen −1.
y = −3x −1
|x |y = −3x−1 ||0 |−1 |
|1 |−4 |

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9) y = (x−1)² + 1
V = (1, 1)            x = 1

10) y = 3(x−1)² + 1
V = (1, 1)            x = 1

11) y = 2(x+1)² − 3
V = (−1, −3)            x = −1

12) y = 3x² + 12x − 5
V = (−2 , −17 )            x = −2

13) Una función cuadrática tiene una expresión de la forma y = x² + ax +...