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FUNCIONES CONTINUAS O CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Concepto
En esencia, una función es continua si su gráfica es una línea seguida, no interrumpida.
La definición matemáticade continuidad comprende las propiedades de los límites. En la definición de límite el valor de no se especifica; es decir este límite depende únicamente de los valores de enla vecindad de (o sea, cerca de), pero no en el valor de.
Por consiguiente, puede ser o no ser igual a.
Si existe, y también existe el valor de, siendo igual a, entonces escontinua en.
Es decir, se dice que una función es continua en sí:
Entonces se puede decir que una función f (X) es continua en (o sobre) un intervalo (o bien) si es continua encada punto del intervalo en cuestión.
De la definición de continuidad se deduce que la gráfica de una función que es continua en un intervalo, es una línea ininterrumpida(esdecir, una que se puede trazar sin levantar la pluma o lápiz del papel) sobre el espacio de ese intervalo, o también se hace posible trazar una curva con sólo situar unos pocospuntos y dibujar una línea con trazo ininterrumpido pasando por ellos, se justificará en el caso de varias clases de curvas.
Ejemplos; aplicación de la definición decontinuidad
Ejemplo 1: Demostrar que f(x) = 5 es continua en 7.
Solución: debemos verificar que las tres condiciones se cumplan.
Primera, f (7) = 5, de modo que f está definida en x= 7.
Segunda, por tanto, f tiene límite cuando X —> 7
Tercera por tanto f es continua en 7
Ejemplo 2: Demostrar que g(x) = x2 — 3 es continua en — 4.
Solución: la funcióng está definida en x = — 4;g (—4) = 13. También:
Por tanto, g es continua en — 4. (Véase la fig. 9.26)
Decimos también que una función es continua en un intervalo si es