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Ejercicios Resueltos: Curvas
A continuaci´n encontrar´ el enunciado de una serie de ejercicios, y sus respectivas soluciones en hojas posteriores.
o
a
Las formas de resolver (la mayor´ de) los problemas, casi nunca es unica, por eso es importante que primero intente
ıa
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usted resolver los problemas por si mismo, y posteriormente mirar la soluci´n.
o
Todos estos ejercicios hanformado parte de evaluaciones anteriores, ya sea en alg´ n Control o Certamen.
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ld
op

PROBLEMAS
(Pr. 1). Considere la curva cuya parametrizaci´n est´ dada por r(t) =
o
a

√

√
2 sen t, 2 cos t, 2 sen t .

(i) Reparametrice la curva por longitud de arco.

(ii) Muestre que la curvatura de esta curva es constante.

er
a

(Pr. 2). Encontrar todas las funciones f (t) tales que lacurva parametrizada por r(t) = (et , f (t) , λ f (t) ), con
t ∈ R y λ ∈ R, λ constante, sea una recta.

3
(Pr. 3). Pruebe que la curva dada por la parametrizaci´n r(t) = 4 cos(t), 1 − sen(t), − 5 cos(t) es una circuno
5
ferencia. Encontrar su centro, radio y plano donde se encuentra.

rg

(Pr. 4). Pruebe que la curva de ecuaciones x = a sen2 (θ), y = a sen(θ) cos(θ), z = a cos(θ), con a >0, se
encuentra sobre una esfera y que todos los planos normales pasan por el origen de coordenadas.

(Pr. 5). Considere la curva intersecci´n entre el cilindro parab´lico z = 1 − x2 y el paraboloide z = x2 + y 2 .
o
o
(i) Encontrar la curvatura de esta curva en los puntos donde el vector tangente (o el vector velocidad)
es paralelo al eje x.
(ii) Encontrar la curvatura en el punto

√1
3
, 22 , 4
2

(Pr. 6). Considere la curva intersecci´n del cilindro y = x2 y el paraboloide z = x2 + y 2 . Calcule la curvatura y
o
la torsi´n de esta curva en el punto (0, 0, 0).
o

(Pr. 7). Para la curva
C = (x, y, z) : x2 = 3y,

2xy = 9z

Calcule la curvatura y la torsi´n en el punto (−3, 3, −2)
o

MAT024 (Ejercicios Resueltos: Curvas)

1

Universidad T´cnica FedericoSanta Mar´
e
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Departamento de Matem´tica
a

R.Geraldo

(Pr. 8). Considere la curva r(t) = (a cos t, a sen t, bt), con a, b > 0.
(i) Pruebe que todas las rectas normales a la curva son perpendiculares al eje z y que adem´s lo
a
intersectan.
(ii) Pruebe que la curvatura y la torsi´n son constantes.
o

ld
op

(Pr. 9). En qu´ puntos de la curva r(t) = (t3 , 3t, t4 ), se tiene que elplano normal es paralelo al plano 6x+6y−8z = 1
e

(Pr. 10). Dada la curva r(t) = 1 − 2t , t2 , 2e2(t−1) , encontrar la curvatura y la torsi´n en el punto donde r(t) y
o
r′ (t) son paralelos.

(Pr. 11). Sea C la curva intersecci´n del cilindro x2 + y 2 = 1 con el plano x + y + z = 1. Encontrar el o los puntos
o
donde la curvatura es m´xima. ¿Cu´nto vale la curvatura en dichos puntos?
aa

er
a

(Pr. 12). Para cada λ ∈ R, considere la curva
x(t) = 2 cos(t),

y(t) = λ t + et ,

z(t) = sen(t),

t∈R

(i) Determine los valores de λ ∈ R para los cuales la curva resulta plana.

(ii) Determine la ecuaci´n de la recta normal principal y la curvatura en un punto arbitrario de la curva
o
obtenida en (i).

rg

(iii) Hallar la ecuaci´n del plano osculador y la torsi´nen el punto P (2, 1, 0) de la curva correspondiente
o
o
a λ = 1.

(Pr. 13). Considere la curva parametrizada por r(t) = (1 + t, 1 − t, 1 − t2 ), −1 ≤ t ≤ 1.
(i) ¿ En qu´ punto de la curva se obtiene la curvatura m´xima?
e
a
(ii) Calcule el plano osculador en el punto encontrado en (a).
(iii) Argumente, sin calcular la torsi´n ni el vector binormal, que la curva es plana.
o

(Pr. 14).Sea r(s) una curva parametrizada por longitud de arco, de clase C 3 , con k(s) = 0. Suponga que para
alguna funci´n escalar λ(s), se tiene que r′′ (s) = λ(s)r(s), para todo s.
o
(i) Probar que la curva es plana.
(ii) Si λ(s) = 0, probar que la curva est´ inclu´ en una circunferencia de radio R =
a
ıda
(Sugerencia: derivar r(s)

MAT024 (Ejercicios Resueltos: Curvas)

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).

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